Wykaż, że jeżeli a, b, c są bokami trójkąta o polu równym 1

[woj186]

Wykaż,że jeżeli a,b,c są długościami boków trójkąta o polu równym 1, spełniającymi warunek
\(\displaystyle{ a \ge b \ge c}\) , to \(\displaystyle{ b \ge \sqrt{2}}\).

[PokEmil]

Wskazówka: Skorzystaj tu ze wzoru Herona na pole trójkąta: \(\displaystyle{ P = \frac {\sqrt {(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)}} {4}}\).

Rozwiązanie:    

Mamy:
\(\displaystyle{ P = 1 = \frac {\sqrt {(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)}} {4}}\), więc mnożąc stronami przez \(\displaystyle{ 4}\) i skoro \(\displaystyle{ a \ge \sqrt{2}}\) oraz \(\displaystyle{ b \ge \sqrt{2}}\), to mamy:
\(\displaystyle{ 4=\sqrt {(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)} \ge \sqrt {(2 \sqrt 2+c)(2 \sqrt 2-c)\cdot c \cdot c}= \sqrt{(8-c^{2}) \cdot c^{2}} = \sqrt{8c^{2} - c^{4}}\).
Podnosząc stronami do kwadratu uzyskujemy: \(\displaystyle{ 16 \ge 8c^{2} - c^{4}}\) przenosząc wszystko na jedną stronę mamy \(\displaystyle{ c^{4} - 8c^{2} + 16 \ge 0}\), czyli równoważnie \(\displaystyle{ (c^{2}-4)^{2} \ge 0}\), co jest zawsze prawdą, gdyż kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną, zatem twierdzenie, że \(\displaystyle{ b \ge \sqrt{2}}\) jest prawdziwe, co należało wykazać.

[bosa_Nike]

@PokEmil - zakładasz tezę, tak nie można.

\(\displaystyle{ 1=\frac{bc\sin\alpha}{2}\le\frac{b\cdot b\cdot 1}{2}}\)

[kropka+]

Trójkąt ma podstawę \(\displaystyle{ c}\) i wysokość \(\displaystyle{ \frac{2}{c}}\) ( bo pole wynosi \(\displaystyle{ 1}\))
\(\displaystyle{ b}\) jest najkrótsze z możliwych, jeśli trójkąt jest prostokątny i \(\displaystyle{ b=h= \frac{2}{c}}\)
Z założenia
\(\displaystyle{ b \ge c\\
\frac{2}{c} \ge c \\
c \le \sqrt{2} \Rightarrow b=\frac{2}{c} \ge \frac{2}{ \sqrt{2} }= \sqrt{2}}\)

[Premislav]

\(\displaystyle{ b}\) jest najkrótsze z możliwych, jeśli trójkąt jest prostokątny i \(\displaystyle{ b=h= \frac{2}{c}}\)

Oczywiście ten fragment wymaga uzasadnienia.

[PokEmil]

No to w takim razie z dowodzenia nie wprost. Załóżmy, że \(\displaystyle{ a < \sqrt{2}}\) i \(\displaystyle{ b < \sqrt{2}}\).
Mamy:
\(\displaystyle{ P = 1 = \frac {\sqrt {(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)}} {4}}\), więc mnożąc stronami przez \(\displaystyle{ 4}\) i skoro \(\displaystyle{ a < \sqrt{2}}\) oraz \(\displaystyle{ b < \sqrt{2}}\), to mamy:
\(\displaystyle{ 4=\sqrt {(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)} < \sqrt {(2 \sqrt 2+c)(2 \sqrt 2-c)\cdot c \cdot c}= \sqrt{(8-c^{2}) \cdot c^{2}} = \sqrt{8c^{2} - c^{4}}\).
Podnosząc stronami do kwadratu uzyskujemy: \(\displaystyle{ 16 < 8c^{2} - c^{4}}\) przenosząc wszystko na jedną stronę mamy \(\displaystyle{ c^{4} - 8c^{2} + 16 < 0}\), czyli równoważnie \(\displaystyle{ (c^{2}-4)^{2} < 0}\). Kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną, zatem doszliśmy do sprzeczności, więc nieprawdą jest że \(\displaystyle{ b < \sqrt {2}}\). Stąd wynika, że \(\displaystyle{ b \ge \sqrt{2}}\), co należało dowieść.

[bosa_Nike]

Nie wszystkie przypadki zostały uwzględnione. Założyłeś na potrzeby dowodu nie wprost, że \(\displaystyle{ \sqrt{2}>b.}\) To jest OK. Ale założenie co do \(\displaystyle{ a}\) ogranicza prawdziwość Twojego dowodu tylko do \(\displaystyle{ \sqrt{2}>a,}\) a to jeszcze za mało. Co jeżeli \(\displaystyle{ a\ge\sqrt{2}>b}\)

[PokEmil]

No to w takim przypadek drugi. Załóżmy, że \(\displaystyle{ a \ge \sqrt{2}}\) i \(\displaystyle{ b < \sqrt{2}}\).
Mamy:
\(\displaystyle{ P = 1 = \frac {\sqrt {(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)}} {4}}\), więc mnożąc stronami przez \(\displaystyle{ 4}\) i skoro \(\displaystyle{ c < \sqrt{2}}\) oraz \(\displaystyle{ b < \sqrt{2}}\), to mamy:
\(\displaystyle{ 4=\sqrt {(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)} < \sqrt {(2 \sqrt 2+a)(2 \sqrt 2-a)\cdot a \cdot a}= \sqrt{(8-a^{2}) \cdot a^{2}} = \sqrt{8a^{2} - a^{4}}\).
Podnosząc stronami do kwadratu uzyskujemy: \(\displaystyle{ 16 < 8a^{2} - a^{4}}\) przenosząc wszystko na jedną stronę mamy \(\displaystyle{ a^{4} - 8a^{2} + 16 < 0}\), czyli równoważnie \(\displaystyle{ (a^{2}-4)^{2} < 0}\). Kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną, zatem doszliśmy do sprzeczności. Stąd wynika, że \(\displaystyle{ a < \sqrt{2}}\) lub \(\displaystyle{ b \ge \sqrt{2}}\), jednak założyliśmy, że \(\displaystyle{ a \ge \sqrt{2}}\), więc prawdziwe musi być \(\displaystyle{ b \ge \sqrt{2}}\). Co należało dowieść.

[bosa_Nike]

\(\displaystyle{ \sqrt{(8-a^{2}) \cdot a^{2}}}\)

Oczywiście wyrażenie podpierwiastkowe musi być nieujemne, no ale gdy jest ujemne, to trójkąt z pewnością nie istnieje.

Stąd wynika, że \(\displaystyle{ a < \sqrt{2}}\) lub \(\displaystyle{ b \ge \sqrt{2}}\), jednak założyliśmy, że \(\displaystyle{ a \ge \sqrt{2}}\), więc prawdziwe musi być \(\displaystyle{ b \ge \sqrt{2}}\). Co należało dowieść.

Stąd wynika, że dla \(\displaystyle{ a\ge\sqrt{2}}\) założenie \(\displaystyle{ \sqrt{2}>b}\) również prowadzi do sprzeczności, więc musi być \(\displaystyle{ b\ge\sqrt{2}}\).
Założeniem względem \(\displaystyle{ a}\) nie machaj, bo co do niego nie wnioskujesz. Podzieliłeś sobie zbiór możliwych wartości zmiennej \(\displaystyle{ a}\) na dwa podzbiory i w tych podzbiorach dowodzisz nie wprost tezy \(\displaystyle{ b\ge\sqrt{2}}\). W obu uzyskałeś sprzeczność, więc teza została udowodniona.