Wysokość i dwusieczna kąta prostego

Dział całkowicie poświęcony zagadnieniom związanymi z trójkątami. Temu co się w nie wpisuje i na nich opisuje - też...
Szakul1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 72
Rejestracja: 15 maja 2017, o 19:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 50 razy

Wysokość i dwusieczna kąta prostego

Post autor: Szakul1 »

W trójkącie prostokątnym z wierzchołka kąta prostego poprowadzono dwusieczną o długości 5 i wysokość o długości 4 oblicz pole trójkąta.
bakala12
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3044
Rejestracja: 25 mar 2010, o 15:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gołąb
Podziękował: 24 razy
Pomógł: 513 razy

Re: Wysokość i dwusieczna kąta prostego

Post autor: bakala12 »

Oznacz sobie kawałki na jakie została podzielona przeciwprostokątna. Środkowy ma 3. Jeden niech będzie \(\displaystyle{ x}\) a drugi \(\displaystyle{ y}\) (\(\displaystyle{ x}\) kawałek przy krótszej przyprostąkątnej \(\displaystyle{ a}\)). Widać 3 trójkąty prostokątne podobne, skąd będzie:
\(\displaystyle{ \frac{x}{4} = \frac{4}{3+y} = \frac{a}{b}}\)
Do tego twierdzenie o dwusiecznej \(\displaystyle{ \frac{x+3}{y}=\frac{a}{b}}\)
i liczymy.
Dilectus
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2662
Rejestracja: 1 gru 2012, o 00:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Pomógł: 369 razy

Re: Wysokość i dwusieczna kąta prostego

Post autor: Dilectus »

bakala12, zupełnie nie pamiętałem, że istnieje twierdzenie o dwusiecznej i kombinowałem, jak koń pod górę...

Szakul1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 72
Rejestracja: 15 maja 2017, o 19:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 50 razy

Re: Wysokość i dwusieczna kąta prostego

Post autor: Szakul1 »

Wychodzi \(\displaystyle{ x= \frac{4}{7}, y=25, P= \frac{400}{7}}\), czyli tyle co w odpowiedziach. Dziękuję za pomoc.
Ostatnio zmieniony 22 kwie 2018, o 22:30 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
darek334
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 177
Rejestracja: 23 lut 2011, o 19:15
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 4 razy

Re: Wysokość i dwusieczna kąta prostego

Post autor: darek334 »

bakala12 pisze:Oznacz sobie kawałki na jakie została podzielona przeciwprostokątna. Środkowy ma 3. Jeden niech będzie \(\displaystyle{ x}\) a drugi \(\displaystyle{ y}\) (\(\displaystyle{ x}\) kawałek przy krótszej przyprostąkątnej \(\displaystyle{ a}\)). Widać 3 trójkąty prostokątne podobne, skąd będzie:
\(\displaystyle{ \frac{x}{4} = \frac{4}{3+y} = \frac{a}{b}}\)
Do tego twierdzenie o dwusiecznej \(\displaystyle{ \frac{x+3}{y}=\frac{a}{b}}\)
i liczymy.
Czy to aby na pewno jest dobrze ?
Stosunek boków trójkątów podobnych nie jest taki sam stosunkom z właściwości o dwusiecznej kąta w trójkącie:
\(\displaystyle{ \frac{x}{4} = \frac{4}{3+y} = \frac{a}{b}}\)
\(\displaystyle{ \neq}\)
\(\displaystyle{ \frac{x+3}{y} \neq \frac{a}{b}}\)
No tak w tym jednym przypadku, kiedy mamy do czynienia z wysokością puszczoną z konta prostego jest to prawda, gdyż boki opisanego trójkąta mają taki sam stosunek, a więc jeśli określić \(\displaystyle{ a}\) jako krótszą przyprostokątną i \(\displaystyle{ b}\) jako dłuższą:
\(\displaystyle{ \frac{x}{4} = \frac{4}{3+y} = \frac{x+3}{y} \Leftrightarrow \frac{a}{b} = \frac{x}{4} = \frac{4}{3+y}}\), ale tylko w tym przypadku, jeśli to nie byłby trójkąt prostokątny to taka równość byłaby nieprawdziwa.
ODPOWIEDZ