Róźne zadania z trójkątów

[rafal11555]

zadanie 1
W trójkącie prostokątnym mniejsza przyprostokątna jest równa \(\displaystyle{ \sqrt{3}}\).
Znaleźć przeciwprostokątną, jeżeli prosta poprowadzona przez wierzchołek kąta prostego pod kątem \(\displaystyle{ 30^\circ}\) do mniejszej przyprostokątnej, dzieli przeciwprostokątną w stosunku \(\displaystyle{ 1:2}\).

zadanie 2
Przez środek boku trójkąta równobocznego poprowadzono prostą tworzącą z tym bokiem kąt ostry \(\displaystyle{ \alpha}\) i dzieląca pole trójkąta w stosunku \(\displaystyle{ 1:7}\). Obliczyć \(\displaystyle{ \alpha}\).

zadanie 3
Znaleźć pole trójkąta prostokątnego, jeżeli promień okręgu wpisanego w ten trójkąt równa się \(\displaystyle{ r}\), zaś promień okręgu dopisanego stycznego do przeciwprostokątnej równa się \(\displaystyle{ R}\).

[MrCommando]

1. Wskazówka: twierdzenie sinusów.

2. Przyjmijmy że długość boku trójkąta równobocznego jest równa \(\displaystyle{ 2x}\). Proponuję wyznaczyć długości boków trójkąta o polu równym \(\displaystyle{ \frac{1}{8}}\) pola całego trójkąta równobocznego (a potem twierdzenie cosinusów).

3. Wystarczy skorzystać z odpowiednich wzorów na promień okręgu dopisanego (w którym występuje pole) oraz promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny.

[rafal11555]

W zadaniu pierwszym juz wcześniej i teraz też próbowałem wyliczyć tą przeciwprostokątną, ale nie wychodzi. Mi. wychodzi \(\displaystyle{ \frac{3 \sqrt{3} }{2}}\), a ma być \(\displaystyle{ \sqrt{7}}\). Proszę o pomoc

[Rafsaf]

Podziel się z nami swoim rozwiązaniem zadania 1

[rafal11555]

Ja robię je tak:
Opis rysunku:
\(\displaystyle{ A}\)-wierzchołek przy najmniejszym kącie w trójkącie prostokątnym,
\(\displaystyle{ B}\)- drugi wierzchołek przy kącie ostrym,
\(\displaystyle{ C}\)-wierzchołek przy kącie prostym
prosta poprowadzona z wierzchołka \(\displaystyle{ C}\) pod kątem \(\displaystyle{ 30^\circ}\) przecina przeciwprostokątną w punkcie \(\displaystyle{ D}\):
Odległość \(\displaystyle{ |CA|= \sqrt{3} , |BD|=x, |AD|=2x}\).
Odległość \(\displaystyle{ |BC|=2R}\)-promienie okręgu opisanego na małym trójkącie (wiem ze tak nie jest bo to nie jest trójkąt prostokątny, ale ja innej zależności nie widze)
z Tw sinusów
\(\displaystyle{ \frac{x}{\sin \alpha }=2R \\
\frac{x}{ \frac{1}{2} }= \sqrt{3} \Rightarrow x= \frac{ \sqrt{3} }{2}}\)
Długość przeciwprostokątnej to \(\displaystyle{ 3x}\), czyli \(\displaystyle{ \frac{3 \sqrt{3} }{2}}\)
Wiem, że ta zależność jest błędna, nie potrafię zauważyć innej chociaż mam 6 z matematyki, zawsze mam problem z planimetrią, a co dziwnego stereometrię umiem.

[florek177]

Z punktu przecięcia przeciwprostokątnej dajesz wysokości na przyprostokątne, które podzielą się w takim samym stosunku jak przeciwprostokątna. Z tangensa policzysz drugą przyprostokątną i dla przeciwprostokątnej otrzymasz to co masz w odpowiedzi.

[rafal11555]

Pierwsze wyszło, a gdzie znaleźć wzór na pole trójkąta z okręgiem dopisanym ?

[florek177]

2.
Przyrównujesz pola trójkątów:

\(\displaystyle{ \, \frac{a}{2} \cdot h = 1 \,\,\,}\) i \(\displaystyle{ \, a \cdot H = 8 \,\,}\) - wyliczasz stosunek wysokości oraz wyznaczasz \(\displaystyle{ H (a) \,\,}\).

Z sinusa wyliczasz \(\displaystyle{ \,\, y(a) \,\,}\) - krótszy odcinek odcięty na ramieniu trójkąta.

\(\displaystyle{ \, \sin ( \alpha ) = \frac{h}{x}\,\,}\) - gdzie \(\displaystyle{ \,\, x \,\,}\) - z tw cosinusów

[rafal11555]

czemu jest \(\displaystyle{ a \cdot H=8}\), a nie \(\displaystyle{ \frac{a \cdot H}{2}=8}\) ?
Już wiem

[MrCommando]

Wzór na promień okręgu dopisanego znajdziesz choćby na wikipedii (razem z wyprowadzeniem).

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Okr%C4%85g_dopisany

[Kartezjusz]

A czy w zadaniu drugim wychodzi sensowny kąt?

[florek177]

\(\displaystyle{ \sin ( \alpha) = \frac{1}{2}}\)

[kerajs]

3.
Wychodzi ładny wzorek:
\(\displaystyle{ P=rR}\)