Matematyka.pl

Długości boków trójkąta a, b, c spełniają warunek:
\(\displaystyle{ ab+bc+ca=27}\). Uzasadnij, że obwód trójkąta jest nie mniejszy od 9 i mniejszy od 11.

Próbowałem coś kombinować, ale nie doszedłem do żadnego sensownego wniosku. Przyjmę wszystkie sugestie, pomysły.

Załóżmy, że najdłuższym bokiem jest \(\displaystyle{ c}\)

Wtedy, mamy z nierówności trójkąta
\(\displaystyle{ a+b \ge c}\)
oraz
dla założenia, że \(\displaystyle{ a>b}\)
\(\displaystyle{ a-b \le c}\)

Mamy, także z Cauchy'ego, co rozwiń dalej sam

\(\displaystyle{ \frac{ab+bc+ca}{3} =9}\)

Reszte pozostawiam tobie

Zauważ, że szukasz takiego rozwiązania

\(\displaystyle{ 9 \le a+b+c < 11}\)
co może zostać rozbite na dwie nierówności
\(\displaystyle{ \begin{cases} 9 \le a+b+c \\ a+b+c < 11\end{cases}}\)

Dzięki wielkie za odpowiedź. Nie wiem czy dobrze rozumuje. Skoro \(\displaystyle{ \frac{ab+bc+ca}{3} =9}\)
to \(\displaystyle{ \sqrt[3]{( abc)^{2} } \le 9}\), co z kolei jest równoważne z \(\displaystyle{ \sqrt[3]{abc} \le 3}\), a z tego wynika, że \(\displaystyle{ \frac{a+b+c}{3} \ge 3}\), czyli \(\displaystyle{ a+b+c \ge 9}\)
Dobrze myślę?
A co z tym, że \(\displaystyle{ a+b+c<11}\)?
Nie mam pomysłu jak wpleść tutaj nierówność trójkąta.

Użyj nierówności trójkąta, dam ci zalążek

\(\displaystyle{ a+b \ge c}\)
\(\displaystyle{ a+b+c \ge 9}\)
\(\displaystyle{ c+c \ge a+b+c \ge 9}\)

Nie wiem, czy Ty popełniłeś błąd, czy ja czegoś nie rozumiem. \(\displaystyle{ c+c}\) nie może być większe od \(\displaystyle{ a+b+c}\), bo z tego wychodzi, że \(\displaystyle{ c \ge a+b}\), co jest nieprawdą. Mylę się?

85213 pisze:\(\displaystyle{ \sqrt[3]{abc} \le 3}\), a z tego wynika, że \(\displaystyle{ \frac{a+b+c}{3} \ge 3}\)

Nie, nie wynika.

Powinieneś udowodnić \(\displaystyle{ 4(ab+bc+ca)>(a+b+c)^2\ge 3(ab+bc+ca)}\)
Prawa nierówność nie powinna stwarzać problemów.
Lewa wynika istotnie z nierówności trójkąta, bo \(\displaystyle{ a+b>c\iff ac+bc>c^2}\) itd.

Jestem jakiś niedzisiejszy, przepraszam, choroba chyba mnie rozbiła.

kagh
kwadratowa arytmetyczna geometryczna harmoniczna
z tego, że geometryczna jest mniejsza lub równa niż 3 wynika jedynie, że tym bardziej harmoniczna jest mniejsza lub równa od 3
\(\displaystyle{ \frac{3}{ \frac{1}{a}+ \frac{1}{b}+ \frac{1}{c} }\le 3}\)
\(\displaystyle{ 1 \le \frac{1}{a}+ \frac{1}{b}+ \frac{1}{c}}\)
\(\displaystyle{ ab+bc+cb \ge abc}\)
Można by zastosować założenie, ale sposób podany wyżej jest lepszy i szybszy

bosa_Nike pisze:Powinieneś udowodnić \(\displaystyle{ 4(ab+bc+ca)>(a+b+c)^2\ge 3(ab+bc+ca)}\)
Prawa nierówność nie powinna stwarzać problemów.
Lewa wynika istotnie z nierówności trójkąta, bo \(\displaystyle{ a+b>c\iff ac+bc>c^2}\) itd.

Udało mi sie udowodnić tą nierówność. Wcześniej cały czas szukałem tej 11, a koniec końców ta nierówność wygląda \(\displaystyle{ 6 \sqrt{3}<a+b+c \le 9}\) Wyciągnę z tego lekcje. Dzięki wielkie!