Uzasadnić, że obwód trójkąta należy do przedziału

Dział całkowicie poświęcony zagadnieniom związanymi z trójkątami. Temu co się w nie wpisuje i na nich opisuje - też...
85213
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 57
Rejestracja: 7 sty 2018, o 19:29
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 31 razy
Pomógł: 6 razy

Uzasadnić, że obwód trójkąta należy do przedziału

Post autor: 85213 » 8 sty 2018, o 14:16

Długości boków trójkąta a, b, c spełniają warunek:
\(\displaystyle{ ab+bc+ca=27}\). Uzasadnij, że obwód trójkąta jest nie mniejszy od 9 i mniejszy od 11.

Próbowałem coś kombinować, ale nie doszedłem do żadnego sensownego wniosku. Przyjmę wszystkie sugestie, pomysły.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Richard del Ferro
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 190
Rejestracja: 13 mar 2016, o 22:48
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 16 razy

Re: Uzasadnić, że obwód trójkąta należy do przedziału

Post autor: Richard del Ferro » 8 sty 2018, o 14:56

Załóżmy, że najdłuższym bokiem jest \(\displaystyle{ c}\)

Wtedy, mamy z nierówności trójkąta
\(\displaystyle{ a+b \ge c}\)
oraz
dla założenia, że \(\displaystyle{ a>b}\)
\(\displaystyle{ a-b \le c}\)

Mamy, także z Cauchy'ego, co rozwiń dalej sam

\(\displaystyle{ \frac{ab+bc+ca}{3} =9}\)

Reszte pozostawiam tobie

Zauważ, że szukasz takiego rozwiązania

\(\displaystyle{ 9 \le a+b+c < 11}\)
co może zostać rozbite na dwie nierówności
\(\displaystyle{ \begin{cases} 9 \le a+b+c \\ a+b+c < 11\end{cases}}\)

85213
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 57
Rejestracja: 7 sty 2018, o 19:29
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 31 razy
Pomógł: 6 razy

Re: Uzasadnić, że obwód trójkąta należy do przedziału

Post autor: 85213 » 8 sty 2018, o 16:05

Dzięki wielkie za odpowiedź. Nie wiem czy dobrze rozumuje. Skoro \(\displaystyle{ \frac{ab+bc+ca}{3} =9}\)
to \(\displaystyle{ \sqrt[3]{( abc)^{2} } \le 9}\), co z kolei jest równoważne z \(\displaystyle{ \sqrt[3]{abc} \le 3}\), a z tego wynika, że \(\displaystyle{ \frac{a+b+c}{3} \ge 3}\), czyli \(\displaystyle{ a+b+c \ge 9}\)
Dobrze myślę?
A co z tym, że \(\displaystyle{ a+b+c<11}\)?
Nie mam pomysłu jak wpleść tutaj nierówność trójkąta.

Awatar użytkownika
Richard del Ferro
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 190
Rejestracja: 13 mar 2016, o 22:48
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 16 razy

Re: Uzasadnić, że obwód trójkąta należy do przedziału

Post autor: Richard del Ferro » 8 sty 2018, o 16:20

Użyj nierówności trójkąta, dam ci zalążek

\(\displaystyle{ a+b \ge c}\)
\(\displaystyle{ a+b+c \ge 9}\)
\(\displaystyle{ c+c \ge a+b+c \ge 9}\)

85213
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 57
Rejestracja: 7 sty 2018, o 19:29
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 31 razy
Pomógł: 6 razy

Re: Uzasadnić, że obwód trójkąta należy do przedziału

Post autor: 85213 » 8 sty 2018, o 17:01

Nie wiem, czy Ty popełniłeś błąd, czy ja czegoś nie rozumiem. \(\displaystyle{ c+c}\) nie może być większe od \(\displaystyle{ a+b+c}\), bo z tego wychodzi, że \(\displaystyle{ c \ge a+b}\), co jest nieprawdą. Mylę się?

bosa_Nike
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1531
Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
Płeć: Kobieta
Podziękował: 45 razy
Pomógł: 405 razy

Uzasadnić, że obwód trójkąta należy do przedziału

Post autor: bosa_Nike » 8 sty 2018, o 17:02

85213 pisze:\(\displaystyle{ \sqrt[3]{abc} \le 3}\), a z tego wynika, że \(\displaystyle{ \frac{a+b+c}{3} \ge 3}\)
Nie, nie wynika.

Powinieneś udowodnić \(\displaystyle{ 4(ab+bc+ca)>(a+b+c)^2\ge 3(ab+bc+ca)}\)
Prawa nierówność nie powinna stwarzać problemów.
Lewa wynika istotnie z nierówności trójkąta, bo \(\displaystyle{ a+b>c\iff ac+bc>c^2}\) itd.

Awatar użytkownika
Richard del Ferro
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 190
Rejestracja: 13 mar 2016, o 22:48
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 16 razy

Re: Uzasadnić, że obwód trójkąta należy do przedziału

Post autor: Richard del Ferro » 8 sty 2018, o 17:47

Jestem jakiś niedzisiejszy, przepraszam, choroba chyba mnie rozbiła.

kagh
kwadratowa arytmetyczna geometryczna harmoniczna
z tego, że geometryczna jest mniejsza lub równa niż 3 wynika jedynie, że tym bardziej harmoniczna jest mniejsza lub równa od 3
\(\displaystyle{ \frac{3}{ \frac{1}{a}+ \frac{1}{b}+ \frac{1}{c} }\le 3}\)
\(\displaystyle{ 1 \le \frac{1}{a}+ \frac{1}{b}+ \frac{1}{c}}\)
\(\displaystyle{ ab+bc+cb \ge abc}\)
Można by zastosować założenie, ale sposób podany wyżej jest lepszy i szybszy

85213
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 57
Rejestracja: 7 sty 2018, o 19:29
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 31 razy
Pomógł: 6 razy

Uzasadnić, że obwód trójkąta należy do przedziału

Post autor: 85213 » 8 sty 2018, o 18:15

bosa_Nike pisze:Powinieneś udowodnić \(\displaystyle{ 4(ab+bc+ca)>(a+b+c)^2\ge 3(ab+bc+ca)}\)
Prawa nierówność nie powinna stwarzać problemów.
Lewa wynika istotnie z nierówności trójkąta, bo \(\displaystyle{ a+b>c\iff ac+bc>c^2}\) itd.
Udało mi sie udowodnić tą nierówność. Wcześniej cały czas szukałem tej 11, a koniec końców ta nierówność wygląda \(\displaystyle{ 6 \sqrt{3}<a+b+c \le 9}\) Wyciągnę z tego lekcje. Dzięki wielkie!

ODPOWIEDZ