Jak sprawdzić czy trójkąt jest równoboczny - dowód

[animasola]

W trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\) poprowadzona środkowe \(\displaystyle{ AD}\) i \(\displaystyle{ BE}\) . Kąty \(\displaystyle{ CAD}\) i \(\displaystyle{ CBE}\) mają miary \(\displaystyle{ 30^\circ}\) .
Wykaż, że trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\) jest równoboczny.

Myślałam, żeby skorzystać z twierdzenia, że środkowe przecinają się w stosunku \(\displaystyle{ 2:1}\) . Wprowadziłam cztery niewiadome - dwie na środkowe i dwie na oznaczenie boków, na które środkowe spadają. Myślałam, żeby zastosować wzór Herona na pole trójkąta, ale to byłoby za dużo zmiennych.
Na pewno trzeba twierdzenie sinusów wykorzystać, bo po coś te kąty są podane. Ale nie wiem, jak to zadanie złapać.

[Kacperdev]

Dobry trop. Kąty wierzchołkowe i tw. sinusów z układem równań.



\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{y}{\sin 30^{\circ}} = \frac{2x}{\sin \beta }\\ \frac{x}{\sin 30^{\circ}} = \frac{2y}{\sin \beta }\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} y = \frac{x}{\sin \beta }\\ x = \frac{y}{\sin \beta }\end{cases} \Rightarrow y = \frac{\frac{y}{\sin \beta}}{\sin \beta} \Rightarrow
1 = \frac{1}{\sin ^{2} \beta}}\)

stąd: \(\displaystyle{ \sin \beta = 1 \vee \sin \beta = -1}\)

Wnioski pozostawiam Tobie.

[animasola]

Bardzo, ale to bardzo dziękuję. Już wszystko wiem.

[kruszewski]

\(\displaystyle{ AC}\) jest cięciwą okręgu opisanego na tym trójkącie. Podobnie \(\displaystyle{ CB}\).
\(\displaystyle{ OD}\) jest normalną do boku \(\displaystyle{ BC}\) połowiącą ten bok. Na tej prostej \(\displaystyle{ OD}\) będzie promieniem okręgu wpisanego między ramiona kątów \(\displaystyle{ \angle C \ i \ \angle B}\). Zatem w trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\).Zauważamy, że trójkąty prostokątne \(\displaystyle{ CDO \ i \ BDO}\) są przystające, mające równe boki \(\displaystyle{ BD = CD}\) zaś odcinek \(\displaystyle{ OD}\) jest wspólnym ich bokiem . Stąd wnosimy, że kąt \(\displaystyle{ \angle C}\) jest równy kątowi \(\displaystyle{ \angle B}\) a stąd i kątowi \(\displaystyle{ \angle A}\) równemu podwojonemu kątowi miary \(\displaystyle{ 30º}\) i mają miary równe , każda 60º
Stąd dalszy wniosek, że trójkąt \(\displaystyle{ \Delta ABC}\) jest równoramienny.