Matematyka.pl

Ze środkowych dowolnego trójkąta można zbudować inny trójkąt.

Jaki bedzie dowód /dowody ?

bierzemy punkt \(\displaystyle{ X}\) symetryczny względem środka boku \(\displaystyle{ BC}\) trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\) do środka ciężkości \(\displaystyle{ G}\) tego trójkąta; wtedy trójkąt \(\displaystyle{ BGX}\) ma boki proporcjonalne do środkowych trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\)

Kaf pisze:Z wysokości trójkąta o bokach \(\displaystyle{ a, b, c}\) można zbudować trójkąt \(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\) można zbudować trójkąt o bokach \(\displaystyle{ \frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}}\).

Jak do tego doszedłeś?

\(\displaystyle{ a \cdot \left( b+c\right) \ge b \cdot c}\)
\(\displaystyle{ b \cdot \left( a+c\right) \ge a \cdot c}\)
\(\displaystyle{ c \cdot \left( a+b\right) \ge a \cdot b}\)-- 30 lis 2017, o 17:44 --Tzn.
Iloczyn jednego z boków trójkąta i sumy pozostałych musi być większy od iloczynu pozostałych. Obliczenia nie są żmudne.

Można prościej: \(\displaystyle{ ah_a=bh_b=ch_c=2S}\) i stad wynika teza