nierówność w trójkacie

[alfred0]

Odnośnie tematu
420891.htm
Miało być tak:
Niech a,b,c boki trójkata oraz R,r to odpowiednio mpromień okregu opisanego i wpisanego w trójkat. Pokaż że
\(\displaystyle{ a^{2}+b^{2}+c^{2}geqslant 4 sqrt{3}P}\), gdzie P-pole trójkat.

Ale chodzi mi teraz o udowodnienie takiej nierówności
\(\displaystyle{ a^{2}+b^{2}+c^{2}geqslant sqrt{3}(4P+(a-c)^2)}\)

[timon92]

nie wiem po co oznaczasz promienie tych okręgów, skoro dalej się nie pojawiają

po podstawieniu \(\displaystyle{ a=x+y, b=x+z, c=y+z}\) mamy \(\displaystyle{ x,y,z>0}\) i \(\displaystyle{ P=\sqrt{xyz(x+y+z)}}\)

\(\displaystyle{ a^2+b^2+c^2-\sqrt{3}(a-c)^2 = (2-\sqrt 3)(x^2+z^2)+(2+2\sqrt 3)xz+2y(x+y+z) \\
\phantom{a^2+b^2+c^2-\sqrt{3}(a-c)^2} \ge (2-\sqrt 3)\cdot 2xz+(2+2\sqrt 3)xz+2y(x+y+z) \\
\phantom{a^2+b^2+c^2-\sqrt{3}(a-c)^2} = 6xz+2y(x+y+z) \\
\phantom{a^2+b^2+c^2-\sqrt{3}(a-c)^2} \ge 2\sqrt{6xz\cdot2y(x+y+z)} \\
\phantom{a^2+b^2+c^2-\sqrt{3}(a-c)^2} = 4\sqrt 3 P}\)