W trójkącie ostrokątnym \(\displaystyle{ ABC}\) poprowadzono wysokości \(\displaystyle{ AA_{1}}\) i \(\displaystyle{ BB_{1}}\). Punkt \(\displaystyle{ O}\) jest środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie. Udowodnij, że proste zwierające odcinki \(\displaystyle{ OC}\) i \(\displaystyle{ A_{1}B_{1}}\) są prostopadłe.
Rysunek mam, środek okręgu leży na symetralnych boków (które są oczywiście równoległe do wysokości). Czego tam szukać? Trójkątów podobnych, czy może dorysować promienie i jakoś z tego próbować?
Niech \(\displaystyle{ M}\) będzie rzutem prostokątnym punktu \(\displaystyle{ O}\) na prostą \(\displaystyle{ BC}\), \(\displaystyle{ D}\) punktem przecięcia \(\displaystyle{ OC}\) i \(\displaystyle{ A_1B_1}\), a \(\displaystyle{ C_1}\) spodkiem wysokości \(\displaystyle{ \triangle ABC}\) opuszczonej z wierzchołka \(\displaystyle{ C}\). Oczywiście \(\displaystyle{ M}\) jest środkiem odcinka \(\displaystyle{ AB}\). Zauważmy więc, że z własności kąta środkowego mamy \(\displaystyle{ \angle MOC=\frac{\angle BOC}{2}=\angle BAC}\). Ponadto \(\displaystyle{ \angle OMC=\frac{\pi}{2}=\angle CC_1A}\), skąd mamy, że \(\displaystyle{ \triangle CC_1A \sim \triangle CMO}\), czyli \(\displaystyle{ \angle OCM= \angle ACC_1}\). Ponadto skoro \(\displaystyle{ \angle AA_1B=\frac{\pi}{2}=\angle BB_1A}\), zatem czworokąt \(\displaystyle{ AB_1A_1B}\) można wpisać okrąg, skąd \(\displaystyle{ \angle CAC_1=\angle CAB=\angle DA_1C}\). Implikuje to to, że \(\displaystyle{ \triangle CC_1A \sim \triangle CDA_1}\), więc istotnie \(\displaystyle{ \angle CDA_1=\angle CC_1A=\frac{\pi}{2}}\)
