Matematyka.pl

Oblicz pole trójkąta, w którym dwie środkowe mają długość 12 i 21 i przecinają się pod kątem 45°

hmm trzeba wykorzystac wlasnosc ze srodkowe przecinaja sie w stosunku 2:1 obliczymy w ten sposob dlugosci poszczegolnych odcinkow srodkowych, pozniej z tw cosinusow wyliczamy boki... a pole trojkata liczymy z wzoru herona

Ok, próbowałam tak, ale wychodzą katastrofalne liczby, a wynik na końcu książeczki jest taki ładny ;] Albo ja coś źle robie, albo już nie wiem co.

ja tego nie liczylem ;/ tylko zasugerowałem ze tak mozna i nie wiem czy to jest na 100% poprawyny sposob. moze wypowie sie ktos inny kto zna ladniejszy sposob

Łatwiejszy sposób:
Zrób rysunek, zaznacz znane długości środkowych (ale nie całych, tylko od razu policz ile ma każdy z dwóch kawałków każdej ze środkowych i zapisz ich długości). Teraz zauważ, że którakolwiek z tych środkowych dzieli trójkąt na dwie części - jedna z tych części składa się z trójkącika i czworokącika, a druga z dwóch trójkącików. Weźmy tą część składającą się z dwóch trójkącików. Mamy dane długości dwóch boków każdego z tych trójkącików (są nimi te kawałki środkowych, których długości przecież znamy) i kąty między nimi. Liczymy pola tych trójkącików ze wzoru \(\displaystyle{ P=\frac{1}{1}ab\sin\alpha}\) (gdzie \(\displaystyle{ a,\,b}\) - znane boki, \(\displaystyle{ \alpha}\) - kąt między nimi) a następnie sumujemy. OK. Mamy już pole jednej części trójkąta. A co z drugą częścią? Nic prostszego - przecież środkowa dzieli trójkąt na dwie części o równych polach (bardzo proste do wykazania poprzez poprowadzenie wspólnej dla obu części wysokości z tego samego wierzchołka co środkowa), zatem pole całego naszego trójkąta będzie równe podwojonemu polu które już wyliczyliśmy