Środek okręgu

[Strike]

W trójkącie ostrokątnym ABC punkty E i F należą odpowiednio do boków AC i AB oraz spełniają warunek \(\displaystyle{ BF+CE=EF}\). Wykaż, że jeżeli \(\displaystyle{ \angle ABC = \angle AEF}\), to środek okręgu wpisanego w trójkąt ABC należy do odcinka EF.

[Pinionrzek]

Niech \(\displaystyle{ E', \ F'}\) będą obrazami punktów \(\displaystyle{ E, \ F}\) w symetrii względem dwusiecznej \(\displaystyle{ \angle BAC}\). Oczywiście \(\displaystyle{ E'F'=E'B+F'C}\). Wybierzmy na prostej \(\displaystyle{ E'F'}\) taki punkt \(\displaystyle{ I}\), że \(\displaystyle{ IE'=E'B}\). Z racji tego, że \(\displaystyle{ \angle AE'F'=\angle AEF=\angle ABC}\), zatem \(\displaystyle{ \triangle E'IB}\) jest trójkątem równoramiennym o kątach przy podstawie równych \(\displaystyle{ \frac{\pi - \pi + \angle ABC}{2}=\frac{\angle ABC}{2}}\), skąd wynika, że \(\displaystyle{ I}\) leży na dwusiecznej \(\displaystyle{ \angle ABC}\). Analogicznie wykazujemy, że \(\displaystyle{ I}\) leży na dwusiecznej \(\displaystyle{ \angle ACB}\), zatem \(\displaystyle{ I}\) jest środkiem okręgu wpisanego w \(\displaystyle{ \triangle ABC}\).

[Strike]

Udowodniłeś że I leży na dwusiecznej ABC ale nie leży na dwusiecznej BAC, wiec lipny ten dowód.-- 7 sie 2016, o 21:39 --Czy jest ktoś w stanie zrobić to zadanie?

[kruszewski]

oraz spełniają warunek \(\displaystyle{ BF+CE=EF}\) należy tu wykorzystać bo jest on tu warunkiem koniecznym.

[Pinionrzek]

Udowodniłeś że I leży na dwusiecznej ABC ale nie leży na dwusiecznej BAC, wiec lipny ten dowód.

-- 7 sie 2016, o 21:39 --

Czy jest ktoś w stanie zrobić to zadanie?

To zadanie jest zrobione. Pokazałem, że \(\displaystyle{ I}\) leży na dwusiecznej \(\displaystyle{ \angle ABC, \ \angle ACB}\), a z tego wynika, że \(\displaystyle{ I}\) leży na dwusiecznej \(\displaystyle{ \angle BAC}\).

[Strike]

Przeciez Ty wybrałeś sobie jakiś punkt I leżący na prostej \(\displaystyle{ E ^{\prime} F^{\prime}}\) a punkt I ma leżeć na prostej \(\displaystyle{ EF}\). Poza tym wogóle nie wykorzystałeś informacji o długości boków, a bez tej informacji nie da sie zrobić tego zadania.

[Pinionrzek]

No skoro ten punkt leży na \(\displaystyle{ E'F'}\), to leży on również na \(\displaystyle{ EF}\), bo w symetrii na siebie przechodzi. No i tę informację wykorzystałem- inaczej nie pokazałbym, że \(\displaystyle{ I}\) leży na dwusiecznej \(\displaystyle{ \angle ACB}\).

[Strike]

Nigdzie nie jest pokazane że ten przez Ciebie wybrany punkt leży na dwóch prostych

[Pinionrzek]

No to jest akurat oczywiste, skoro leży on na dwusiecznej, a rozważasz symetrię względem niej

[Strike]

A gdzie jest napisane ze on leży na dwusiecznej BAC?

[Pinionrzek]

No to już napisałem. Skoro leży on na dwusiecznych \(\displaystyle{ \angle ABC, \ \angle ACB}\), to jest on środkiem okręgu wpisanego, więc leży na tej dwusiecznej.

[Strike]

Rozpatrujesz symetrie względem dwusiecznej BAC, wiec niby z jakiej racji jest oczywiste ze I jest na dwusiecznej ABC?

[Pinionrzek]

To udowodniłem w rachunku na kątach w pierwszym poście. Analogicznym rachunkiem pokazuję, że \(\displaystyle{ I}\) leży na dwusiecznej \(\displaystyle{ \angle ACB}\), a mogę zrobić to tylko dlatego, że mam założenie \(\displaystyle{ EF=BF+CE}\).

[Strike]

W takim razie proszę napisz raz jeszcze swoje rozwiązanie tylko że dokładniej, bo być może go nie rozumiem

[Pinionrzek]

Definiujemy \(\displaystyle{ E', \ F'}\) jako odbicia punktów \(\displaystyle{ E, \ F}\) względem dwusiecznej \(\displaystyle{ \angle BAC}\). Skoro mieliśmy \(\displaystyle{ EF=CE+BF}\), to \(\displaystyle{ E'F'=BE'+CF'}\), gdyż \(\displaystyle{ EF'=FE'}\). Obieramy na \(\displaystyle{ E'F'}\) punkt \(\displaystyle{ I}\), taki, że \(\displaystyle{ BE'=IE'}\). Ponieważ \(\displaystyle{ \angle AE'F'=\angle AEF=\angle ABC}\), czyli \(\displaystyle{ E'F' \parallel BC}\). Ponadto \(\displaystyle{ \triangle E'BI}\) jest równoramienny, a \(\displaystyle{ \angle BE'I=\pi - \angle ABC}\), więc \(\displaystyle{ \angle E'BI= \angle BIE' = \frac{\angle ABC}{2}}\). Z powodu zauważonej równoległości widzimy jednak, że \(\displaystyle{ \angle E'BI=\frac{\angle ABC}{2}= \angle CBI}\), czyli \(\displaystyle{ I}\) leży na dwusiecznej \(\displaystyle{ \angle ABC}\). Zauważmy teraz, że \(\displaystyle{ IF'=F'C}\), zatem rozumując analogicznie, dostajemy, że \(\displaystyle{ I}\) leży na dwusiecznej \(\displaystyle{ \angle ACB}\), czyli \(\displaystyle{ I}\) jest środkiem okręgu wpisanego w \(\displaystyle{ \triangle ABC}\) \(\displaystyle{ \Rightarrow}\) leży na dwusiecznej \(\displaystyle{ \angle BAC}\) \(\displaystyle{ \Rightarrow}\) jest punktem stałym w symetrii względem dwusiecznej tego kąta \(\displaystyle{ \Rightarrow}\) \(\displaystyle{ I \in EF}\)