Matematyka.pl

Zad. 1.
W trójkącie stosunek długości dwóch boków wynosi \(\displaystyle{ k=\frac{2}{3}}\). Kąt pomiędzy tymi bokami ma miarę \(\displaystyle{ 60^{\circ}}\). Wyznacz sinusy pozostałych kątów.

Zad. 2.
Udowodnić, że w dowolnym trójkącie prostokątnym, w którym długości boków tworzą ciąg arytmetyczny, promień okręgu wpisanego w ten trójkąt jest równy różnicy ciągu.

Ad 1:
Wierzę, że wystarczy Ci podpowiedź. Skoro wiemy, że mamy w trójkącie boki o długościach \(\displaystyle{ a, \frac{3}{2} a, c}\) to wpierw skorzystaj z twierdzenia cosinusów, by uzależnić bok \(\displaystyle{ c}\) od \(\displaystyle{ a}\). Potem już wystarczy skorzystać z twierdzenia sinusów.

Ad 2:
Nie wiem czy treść zadania jest źle sformułowana, czy to ja gdzieś popełniam błąd. Promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny o bokach a,b,c ( gdzie c jest przeciwprostokątną) wyraża się wzorem \(\displaystyle{ r= \frac{1}{2} (a+b-c)}\). Możemy założyć, że \(\displaystyle{ a=a, b=a+r_{1} , c=a+2r_{1}}\) ale wtedy podstawiając do wzoru otrzymujemy \(\displaystyle{ r= \frac{1}{2} (a-r_{1})}\). Wnioskuję jednak, że powinniśmy otrzymać \(\displaystyle{ r=r_{1}}\). Tak jednak dzieję się tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ a=3r_{1}}\).

Ad. 1.
Niech te dwa boki mają długości \(\displaystyle{ 2a}\) oraz \(\displaystyle{ 3a}\). Z tw. cosinusów policz długość trzeciego boku, a następnie wyznacz szukane sinusy z tw. sinusów.
Ad. 2
Oznacz boki trójkąta jako \(\displaystyle{ a,\,a+r_{1},\,a+2r_{1}}\), zastosuj tw. Pitagorasa i wyznacz \(\displaystyle{ a}\) w zależności od \(\displaystyle{ r_{1}}\). Potem wpisz sobie okrąg, pociągnij promienie do punktów styczności i połącz środek okręgu z wierzchołkami trójkąta, poszukaj trójkątów przystających i znajdź wzór na promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny w zależności od boków (podpowiem: powinno wyjść \(\displaystyle{ r=\frac{a+b-c}{2}}\), gdzie c to przeciwprostokątna, a a i b to przyprostokątne). Teraz już łatwo wykażesz co należy.

EDIT: Tristan dobrze liczysz i myślisz, tylko brakuje wyprowadzenia dlaczego \(\displaystyle{ a=3r_{1}}\) A wychodzi to włąśnie po wstawieniu boków do tw. Pitagorasa.