Ostatnio robiłam takie oto zadanie :
W trójkacie prostokątnym okrąg o promieniu \(\displaystyle{ r}\) jest styczny do obu przyprostokątnych, a jego środek leży na przeciwprostokątnej i dzieli ją w stosunku \(\displaystyle{ m:n}\). Oblicz pole tego trójkąta.
Nie mam odpowiedzi do tego zadania, dlatego chciałabym porównać
mój wynik z waszym rozwiązaniem .
Mi wyszło: \(\displaystyle{ P=\frac{1}{2}mn+r^2}\)
Pole trójkąta prostokątnego
-
- Użytkownik
- Posty: 8601
- Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 47 razy
- Pomógł: 1816 razy
Pole trójkąta prostokątnego
Mi zaś trochę inaczej wychodzi.
Zatem cały trójkąt możemy podzielić na:
1. kwadrat o boku r
2. trójkąt prostokątny o przyprostokątnej r i przeciwprostokątnej m
3. trójkąt prostokątny o przyprostokątnej r i przeciwprostokątnej n
Pole całego trójkąta wtedy wyniesie:
\(\displaystyle{ S = r^2 + \frac{1}{2}r \sqrt{m^2 - r^2} + \frac{1}{2}r \sqrt{n^2 - r^2}}\)
Zatem cały trójkąt możemy podzielić na:
1. kwadrat o boku r
2. trójkąt prostokątny o przyprostokątnej r i przeciwprostokątnej m
3. trójkąt prostokątny o przyprostokątnej r i przeciwprostokątnej n
Pole całego trójkąta wtedy wyniesie:
\(\displaystyle{ S = r^2 + \frac{1}{2}r \sqrt{m^2 - r^2} + \frac{1}{2}r \sqrt{n^2 - r^2}}\)
- Justka
- Użytkownik
- Posty: 1680
- Rejestracja: 25 sty 2007, o 12:58
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 579 razy
Pole trójkąta prostokątnego
Też doszłam do takiego rozwiązania, lecz zaczęłam kombinowac jak usunąć te pierwiastki.
A więc podstawiając wyliczone boki do tw Pitagorasa otrzymałam takie coś:
\(\displaystyle{ (r+\sqrt{m^2-r^2})^2+(r+\sqrt{n^2-r^2})^=(m+n)^2}\) z tego otrzymałam taką równość: \(\displaystyle{ r(\sqrt{m^2-r^2}+\sqrt{n^2-r^2})=mn}\) i podstawiłam do rozwiązania które podałeś. A więc wyszło \(\displaystyle{ P=\frac{1}{2}mn+r^2}\)
I teraz pytanie. Czy mogłam tak zrobić? Czy jednak lepiej pozostawić rozwiązanie z pierwiaskami?[/quote]
A więc podstawiając wyliczone boki do tw Pitagorasa otrzymałam takie coś:
\(\displaystyle{ (r+\sqrt{m^2-r^2})^2+(r+\sqrt{n^2-r^2})^=(m+n)^2}\) z tego otrzymałam taką równość: \(\displaystyle{ r(\sqrt{m^2-r^2}+\sqrt{n^2-r^2})=mn}\) i podstawiłam do rozwiązania które podałeś. A więc wyszło \(\displaystyle{ P=\frac{1}{2}mn+r^2}\)
I teraz pytanie. Czy mogłam tak zrobić? Czy jednak lepiej pozostawić rozwiązanie z pierwiaskami?[/quote]
-
- Użytkownik
- Posty: 813
- Rejestracja: 6 cze 2007, o 12:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław/Kąty Wrocławskie
- Pomógł: 206 razy
Pole trójkąta prostokątnego
Poprawna odpowiedź
\(\displaystyle{ P=\frac{1}{2}\cdot(\frac{mr}{n}+r)(r+\frac{nr}{m})}\)
luka, środek okręgu dzieli przeciwprostokątną w stosunku \(\displaystyle{ m:n}\) to nie znaczy wcale,że przeciwprostokątna mniejszego trójkąta prostokątnego ma długość \(\displaystyle{ m}\), ale \(\displaystyle{ mx}\), a przeciwprostokątna drugiego trójkąta prostokątnego ma długość \(\displaystyle{ nx}\) zatem cała przeciwprostokątna trójkata na \(\displaystyle{ (n+m)x}\)
W zadaniu skorzystać z podobieństwa odpowiednich trójkątów
pozdrawiam justkę
\(\displaystyle{ P=\frac{1}{2}\cdot(\frac{mr}{n}+r)(r+\frac{nr}{m})}\)
luka, środek okręgu dzieli przeciwprostokątną w stosunku \(\displaystyle{ m:n}\) to nie znaczy wcale,że przeciwprostokątna mniejszego trójkąta prostokątnego ma długość \(\displaystyle{ m}\), ale \(\displaystyle{ mx}\), a przeciwprostokątna drugiego trójkąta prostokątnego ma długość \(\displaystyle{ nx}\) zatem cała przeciwprostokątna trójkata na \(\displaystyle{ (n+m)x}\)
W zadaniu skorzystać z podobieństwa odpowiednich trójkątów
pozdrawiam justkę