Witam! Mam problem z następującym zadaniem:
!. W trójkącie prostokątnym ABC, wysokość wychodząca z kąta prostego jest 4 razy krótsza od przeciwprostokątnej tego trójkąta. Wyznacz kąty tego trójkąta.
Za ewentualną pomoc byłbym bardzo wdzięczny Z góry dziękuję i pozdrawiam.
Trójkąt prostokątny-kąty
-
luka52
- Użytkownik
- Posty: 8601
- Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 47 razy
- Pomógł: 1816 razy
Trójkąt prostokątny-kąty
Ta wysokość dzieli przeciwprostokątną na dwa odcinki a i b, takie że:
\(\displaystyle{ \sqrt{ab} = h}\)
gdzie h to wysokość. Dodatkowo mamy:
\(\displaystyle{ a+b=4h}\)
Wyznaczając z tych dwu równań a i b otrzymujemy, że:
\(\displaystyle{ a = h ( 2 - \sqrt{3} ), \quad b = h ( 2 + \sqrt{3} )}\)
(Oczywiście istnieje drugie rozwiązanie, ale... no właśnie - co? )
Mając wyliczone a i b możemy zapisać, że:
\(\displaystyle{ \tan = \frac{h}{h ( 2 - \sqrt{3} )} = 75^{\circ}\\
\beta = 90^\circ - = 15^{\circ}}\)
Zatem kątamy tego trójkąta mają miary 15°, 75° i 90°.
\(\displaystyle{ \sqrt{ab} = h}\)
gdzie h to wysokość. Dodatkowo mamy:
\(\displaystyle{ a+b=4h}\)
Wyznaczając z tych dwu równań a i b otrzymujemy, że:
\(\displaystyle{ a = h ( 2 - \sqrt{3} ), \quad b = h ( 2 + \sqrt{3} )}\)
(Oczywiście istnieje drugie rozwiązanie, ale... no właśnie - co? )
Mając wyliczone a i b możemy zapisać, że:
\(\displaystyle{ \tan = \frac{h}{h ( 2 - \sqrt{3} )} = 75^{\circ}\\
\beta = 90^\circ - = 15^{\circ}}\)
Zatem kątamy tego trójkąta mają miary 15°, 75° i 90°.
-
Justka
- Użytkownik
- Posty: 1680
- Rejestracja: 25 sty 2007, o 12:58
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 579 razy
Trójkąt prostokątny-kąty
Hm...
oznaczmy sobie x i y jako przyprostokątne tego trójkąta. Układamy równanie (tw.Pitagorasa) :
\(\displaystyle{ x^2+y^2=(a+b)^2}\)
Oprócz tego mamy jeszcze takie zalezności:
\(\displaystyle{ a^2+h^2=x^2}\) i \(\displaystyle{ b^2+h^2=y^2}\)
Postawiajac do pierwszego równania otrzymujemy:
\(\displaystyle{ a^2+h^2+b^2+h^2=a^2+2ab+b^2\\
2h^2=2ab\\
h=\sqrt{ab}}\)
oznaczmy sobie x i y jako przyprostokątne tego trójkąta. Układamy równanie (tw.Pitagorasa) :
\(\displaystyle{ x^2+y^2=(a+b)^2}\)
Oprócz tego mamy jeszcze takie zalezności:
\(\displaystyle{ a^2+h^2=x^2}\) i \(\displaystyle{ b^2+h^2=y^2}\)
Postawiajac do pierwszego równania otrzymujemy:
\(\displaystyle{ a^2+h^2+b^2+h^2=a^2+2ab+b^2\\
2h^2=2ab\\
h=\sqrt{ab}}\)