Matematyka.pl

1.Dany jest trójkąt ostrokątny ABC, przy czym kąt ACB =60 stopni. Punkty D i E są rzutami prostokątnymi odpowiednio punktów A i B na proste BC i AC. Punkt M jest środkiem boku AB. Wykaż, ze trójkąt DEM jest równoboczny.

Na razie doszedłem tylko do tego iż bok EM i DM są równej długości względem AM (MB).

PS: Jest to zadanie ze zbioru dr Pompe zadanie nr 16.

\(\displaystyle{ M}\) jest środkiem okręgu opisanego na trójkątach \(\displaystyle{ ABD}\) i \(\displaystyle{ ABE}\).


Zauważ, że \(\displaystyle{ \angle CBE=30^o}\). Ponieważ \(\displaystyle{ DM=MB}\) to \(\displaystyle{ \angle MDB=30^o+\angle ABE}\), stąd \(\displaystyle{ \angle ADM=90^o-(30^o+\angle ABE)=60^o-\angle ABE}\).

\(\displaystyle{ M}\) jest środkiem okręgu opisanego na trójkątach \(\displaystyle{ ABD}\) i \(\displaystyle{ ABE}\), stąd \(\displaystyle{ \angle ADE=\angle ABE}\)(kąty wpisane w okrąg oparte na tym samym łuku). Zatem \(\displaystyle{ \angle EDM=\angle MED=\angle ADM+\angle ADE=60^o-\angle ABE+\angle ABE=60^o}\)

Wielkie dzięki