Trójkąt z symetralna odcinka

Vixy · Post autor: **Vixy** » 11 maja 2007, o 22:13

W trójkącie ABC dane są |AB|=2 , |BC|=3 , |AC|=4.Jakie długości mają odcinki na które symetralna AB dzieli jeden z pozostałych boków w tym trójkącie ?

jesli symetralna tzn. ze jest prosta prostopadła.

bok na który podzieliła symetralna wynosi x oraz 4-x

obliczam wysokosc w tym trójkacie (najpierw tw. cosinusow potem z jedynki trygonometrycznej zamieniam na sinus i wszystko ładnie wychodzi ) \(\displaystyle{ h=\frac{3\sqrt{15}}{4}}\)

obliczam sinusy kątow , \(\displaystyle{ sin\alpha=\frac{3\sqrt{15}}{16}}\)
\(\displaystyle{ sin\beta=\frac{\sqrt{15}}{4}}\)

korzystam z tw. sinusów żeby obliczyc długość poprowadzonej symetralnej
wyszło \(\displaystyle{ y=\frac{9}{4}*\sqrt{15}}\)

no i z podobienstwa trojkatow korzystam zeby uzaleznic y od x wyszlo \(\displaystyle{ \sqrt{15}x}\)

czyli \(\displaystyle{ \sqrt{15}x=\frac{9}{4}*\sqrt{15}}\)

nie zgadza sie z odpowiedzia gdzie błąd zrobiłam ?

Uzo · Post autor: **Uzo** » 11 maja 2007, o 23:11

jaka jest odp. ?

Vixy · Post autor: **Vixy** » 12 maja 2007, o 09:34

w odpowiedz jest \(\displaystyle{ 1\frac{5}{11}}\) , \(\displaystyle{ 2 \frac{6}{11}}\)

Uzo · Post autor: **Uzo** » 12 maja 2007, o 09:40

No to ja zrobiłem rysuneczek
i z rysunku
\(\displaystyle{ cos\alpha =\frac{1}{x}}\)

następnie z twierdzenia cosinusów obliczyłem cosinus tego samego kąta:
\(\displaystyle{ cos\alpha = \frac{11}{16}}\)

porównałem:
\(\displaystyle{ \frac{1}{x} = \frac{11}{16}\\
x=\frac{16}{11}\\
czyli\\
4-x=\frac{28}{11}}\)

Robiłem jeszcze innym sposobem ,ale tamtym mi nie wyszło,hmmm...

Vixy · Post autor: **Vixy** » 12 maja 2007, o 09:44

no ja też to robiłam inną metoda ale za kazdym razem wyszedł mi inny wynik czyli skorzystałeś z własnosci f.trygonometrycznych i tw. cosinusów ?

[ Dodano: 12 Maj 2007, 10:46 ]
a czemu jest \(\displaystyle{ cos\alpha=\frac{1}{x}}\) ?

Uzo · Post autor: **Uzo** » 12 maja 2007, o 09:56

Już wyszło , pomyliłem siew liczeniu

W drugim sposobie stworzyłem układ równań
jedno równanie z tw. Pitagorasa
\(\displaystyle{ 1+k^{2}=x^{2}}\)
gdzie k- długość odcinka ,który dzieli boki trójkąta i zawiera sie w symetralnej

a drugie równanie to stosunek:
\(\displaystyle{ \frac{x}{k}=\frac{4}{h}}\)

h to wysokość trójkąta ,którą obliczymy z chociażby wykorzystując wzory na pole trójkąta

a w tym pierwszym sposobie ten cosinus jest w trójkącie utworzonym z odcinka x, z połowy boku AB (ponieważ symetralna dzieli nam boki na połowy) i z odcinka k o którym mówiłem w drugim sposobie

Vixy · Post autor: **Vixy** » 12 maja 2007, o 10:12

to ta symetralna podzieliła tą podstawe na połowy ? a to juz wszystko jasne

[ Dodano: 12 Maj 2007, 11:13 ]
no ja własnie tez korzystalam z podobienstwa i z tw. pitagorasa ale gdzies błąd liczeniowy zrobiłam

Uzo · Post autor: **Uzo** » 12 maja 2007, o 10:33

smerfetka18 pisze:to ta symetralna podzieliła tą podstawe na połowy ?

Symetralna odcinka to prosta prostopadła do tego odcinka dzieląca go na dwie równe części

Vixy · Post autor: **Vixy** » 12 maja 2007, o 11:15

aa to juz wszystko jasne , zapomniałam co to symetralna a maturka za 2 dni dzieki