Wpisawnie w dany trójkąt innego trójkąta
-
- Użytkownik
- Posty: 22
- Rejestracja: 24 sty 2011, o 18:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 2 razy
Wpisawnie w dany trójkąt innego trójkąta
Mamy wpisać w dany trójkąt inny trójkąt, tak aby jego obwód był możliwie jak najmniejszy. Jak to zrobić i uzasadnić? Będę wdzięczny za wszelkie podpowiedzi.
-
- Użytkownik
- Posty: 22
- Rejestracja: 24 sty 2011, o 18:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 2 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 22
- Rejestracja: 24 sty 2011, o 18:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 2 razy
Wpisawnie w dany trójkąt innego trójkąta
Kombinuje z tym zadaniem od wczoraj i wiele rzeczy podejrzewam ale jak to udowodnić?
-
- Użytkownik
- Posty: 22
- Rejestracja: 24 sty 2011, o 18:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 2 razy
Wpisawnie w dany trójkąt innego trójkąta
Z jakiego działu? Eee... jest to z zajęć "Geometria elementarna", a dział to planimetria jak podejrzewam.
- kropka+
- Użytkownik
- Posty: 4389
- Rejestracja: 16 wrz 2010, o 14:54
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 787 razy
Wpisawnie w dany trójkąt innego trójkąta
Znalazłam w necie rozwiązanie tego zadania.
Najpierw wybierasz dowolny punkt \(\displaystyle{ P}\) na boku \(\displaystyle{ AB}\).
Odbijasz ten punkt symetrycznie względem boków \(\displaystyle{ AC}\) i \(\displaystyle{ BC}\) i dostajesz punkty \(\displaystyle{ P'}\) i \(\displaystyle{ P"}\).
Odcinek \(\displaystyle{ P'P"}\) przecina boki w punktach \(\displaystyle{ Q}\) i \(\displaystyle{ R}\).
Widać, że obwód trójkąta \(\displaystyle{ PQR}\) wynosi \(\displaystyle{ \left| P'P"\right|}\).
Widać, że dla innych punktów \(\displaystyle{ X,Y}\) obwód trójkąta \(\displaystyle{ PXY}\) byłby równy długości łamanej \(\displaystyle{ P'XYP"}\) - czyli większy od obwodu trójkąta \(\displaystyle{ PQR}\).
Teraz chodzi więc tylko o to, żeby znaleźć taki punkt \(\displaystyle{ P}\), żeby odcinek \(\displaystyle{ P'P"}\) był najkrótszy.
Okazuje się, że \(\displaystyle{ P}\) musi być spodkiem wysokości opuszczonej z \(\displaystyle{ C}\) na \(\displaystyle{ AB}\)
Najpierw wybierasz dowolny punkt \(\displaystyle{ P}\) na boku \(\displaystyle{ AB}\).
Odbijasz ten punkt symetrycznie względem boków \(\displaystyle{ AC}\) i \(\displaystyle{ BC}\) i dostajesz punkty \(\displaystyle{ P'}\) i \(\displaystyle{ P"}\).
Odcinek \(\displaystyle{ P'P"}\) przecina boki w punktach \(\displaystyle{ Q}\) i \(\displaystyle{ R}\).
Widać, że obwód trójkąta \(\displaystyle{ PQR}\) wynosi \(\displaystyle{ \left| P'P"\right|}\).
Widać, że dla innych punktów \(\displaystyle{ X,Y}\) obwód trójkąta \(\displaystyle{ PXY}\) byłby równy długości łamanej \(\displaystyle{ P'XYP"}\) - czyli większy od obwodu trójkąta \(\displaystyle{ PQR}\).
Teraz chodzi więc tylko o to, żeby znaleźć taki punkt \(\displaystyle{ P}\), żeby odcinek \(\displaystyle{ P'P"}\) był najkrótszy.
Okazuje się, że \(\displaystyle{ P}\) musi być spodkiem wysokości opuszczonej z \(\displaystyle{ C}\) na \(\displaystyle{ AB}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 22
- Rejestracja: 24 sty 2011, o 18:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 2 razy