Wpisawnie w dany trójkąt innego trójkąta

[Mefistofeles]

Mamy wpisać w dany trójkąt inny trójkąt, tak aby jego obwód był możliwie jak najmniejszy. Jak to zrobić i uzasadnić? Będę wdzięczny za wszelkie podpowiedzi.

[kropka+]

A co jest dane odnośnie wyjściowego trójkąta?

[Mefistofeles]

Nic, tylko że jest to trójkąt ABC i jest ostrokątny.

[kropka+]

Wydaje mi się, że to będzie wpisany trójkąt równoboczny. Ale dlaczego? Pokombinuj z tym.

[Mefistofeles]

Kombinuje z tym zadaniem od wczoraj i wiele rzeczy podejrzewam ale jak to udowodnić?

[kropka+]

Zacznijmy od tyłu. Z jakiego działu matematyki pochodzi to zadanie?

[Mefistofeles]

Z jakiego działu? Eee... jest to z zajęć "Geometria elementarna", a dział to planimetria jak podejrzewam.

[kropka+]

Znalazłam w necie rozwiązanie tego zadania.
Najpierw wybierasz dowolny punkt \(\displaystyle{ P}\) na boku \(\displaystyle{ AB}\).
Odbijasz ten punkt symetrycznie względem boków \(\displaystyle{ AC}\) i \(\displaystyle{ BC}\) i dostajesz punkty \(\displaystyle{ P'}\) i \(\displaystyle{ P"}\).
Odcinek \(\displaystyle{ P'P"}\) przecina boki w punktach \(\displaystyle{ Q}\) i \(\displaystyle{ R}\).
Widać, że obwód trójkąta \(\displaystyle{ PQR}\) wynosi \(\displaystyle{ \left| P'P"\right|}\).
Widać, że dla innych punktów \(\displaystyle{ X,Y}\) obwód trójkąta \(\displaystyle{ PXY}\) byłby równy długości łamanej \(\displaystyle{ P'XYP"}\) - czyli większy od obwodu trójkąta \(\displaystyle{ PQR}\).
Teraz chodzi więc tylko o to, żeby znaleźć taki punkt \(\displaystyle{ P}\), żeby odcinek \(\displaystyle{ P'P"}\) był najkrótszy.
Okazuje się, że \(\displaystyle{ P}\) musi być spodkiem wysokości opuszczonej z \(\displaystyle{ C}\) na \(\displaystyle{ AB}\)

[Mefistofeles]

Dziękuję serdecznie!