Wyznacz wszystkie trójkąty pitagorejskie ( tzn. trójkątów prostokątnych o całkowitych bokach ), których jedna przyprostokątna ma długość będącą liczbą pierwszą.
Milego dnia...
Ile jest trojkatow ?
-
matti
- Użytkownik
- Posty: 35
- Rejestracja: 6 kwie 2006, o 18:40
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Krosno
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 1 raz
Ile jest trojkatow ?
Jest tego nieskończenie wiele
Ale np.:
Niech pewna liczba \(\displaystyle{ a}\) będzie całkowita i nieparzysta - będzie to jedna z przyprostokątnych trójkąta. Można dobrać 2 liczby całkowite: \(\displaystyle{ b=\frac{a^{2}-1}{2}\mbox{ oraz }c=\frac{a^{2}+1}{2}}\). Takie, że \(\displaystyle{ a^{2}+b^{2}=c^{2}}\)
Istotnie:
\(\displaystyle{ a^{2}+(\frac{a^{2}-1}{2})^{2}= a^{2}+ \frac{1}{4}(a^{4}-2a^{2}+1)= \frac{1}{4}(4a^{2}+a^{4}-2a^{2}+1)= \\ \frac{1}{4}(a^{4}+2a^{2}+1)= (\frac{a^{2}+1}{2})^{2}}\)
Więc dla każdej nieparzystej liczby pierwszej a istnieją liczby b, c takie że wszystkie 3 to długości boków trójkąta prostokątnego.
Ale np.:
Niech pewna liczba \(\displaystyle{ a}\) będzie całkowita i nieparzysta - będzie to jedna z przyprostokątnych trójkąta. Można dobrać 2 liczby całkowite: \(\displaystyle{ b=\frac{a^{2}-1}{2}\mbox{ oraz }c=\frac{a^{2}+1}{2}}\). Takie, że \(\displaystyle{ a^{2}+b^{2}=c^{2}}\)
Istotnie:
\(\displaystyle{ a^{2}+(\frac{a^{2}-1}{2})^{2}= a^{2}+ \frac{1}{4}(a^{4}-2a^{2}+1)= \frac{1}{4}(4a^{2}+a^{4}-2a^{2}+1)= \\ \frac{1}{4}(a^{4}+2a^{2}+1)= (\frac{a^{2}+1}{2})^{2}}\)
Więc dla każdej nieparzystej liczby pierwszej a istnieją liczby b, c takie że wszystkie 3 to długości boków trójkąta prostokątnego.