trójkąt równoboczny

[witch]

Dany jest trójkąt równoboczny ABC. Na przedłużeniu boku AC poza punkt C wybrano punkt D, a na przedłużeniu boku BC poza punkt C, wybrano E, taki że BD=DE. Udowodnij, że AD=CE

[anna_]

Z twierdzenia sinusów dla trójkąta \(\displaystyle{ ABD}\)
\(\displaystyle{ \frac{a+y}{\sin(60^o+\alpha)} = \frac{r}{\sin 60^o}}\)

Z twierdzenia sinusów dla trójkąta \(\displaystyle{ CDE}\)
\(\displaystyle{ \frac{x}{\sin{180^o-(60^o+\alpha)}} = \frac{r}{\sin 60^o}}\)

\(\displaystyle{ \frac{x}{\sin{(60^o+\alpha)}} = \frac{r}{\sin 60^o}}\)

czyli
\(\displaystyle{ \frac{a+y}{\sin(60^o+\alpha)}=\frac{x}{\sin{(60^o+\alpha)}}}\)
\(\displaystyle{ a+y=x}\)

[timon92]

rozważmy punkt \(\displaystyle{ F}\) na odcinku \(\displaystyle{ CE}\) tak, że trójkąt \(\displaystyle{ DCF}\) jest równoboczny

wówczas trójkąty \(\displaystyle{ BFD}\) i \(\displaystyle{ ECD}\) są przystające i wobec tego \(\displaystyle{ CE = BF}\)

pozostaje zauważyć, że \(\displaystyle{ BF=AD}\)