Równoległobok wpisany w trójkąt.

[dawid.barracuda]

Witam. Mam takie zadanie:
W trójkąt wpisano równoległobok w ten sposób, że jeden jego bok leży na podstawie trójkąta, a przekątne są odpowiednio równoległe do pozostałych boków trójkąta. Wyznaczyć boki równoległoboku, jeżeli podstawa trójkąta równa się 45cm, a pozostałe boki 39cm i 48cm.
Wydaje mi się, że jestem dość blisko rozwiązania, ale znowu ugrzązłem w martwym punkcie. Pewnie czegoś oczywistego znów nie widzę. Więc, jestem pewny, że to zadanie na tw. Talesa. Z tego też twierdzenia wyliczyłem, że przekątne mają długości kolejno \(\displaystyle{ d _{1} = 36 \frac{9}{16}}\) i \(\displaystyle{ d _{2} = 41 \frac{3}{5}}\). Pole tego też równoległoboku jest więc równe \(\displaystyle{ P = 760,5}\).
Nie wiem co dalej. Proszę o wskazówki. Pozdrawiam.
Dla informacji nazwa zbioru: "Zbiór zadań maturalnych i egzaminacyjnych. Część druga. Geometria i trygonometria. 1962r."

[Funktor]

a autorzy ? Kartasiński i Okołowicz . czy coś innego ?

[dawid.barracuda]

Tak, to ci autorzy. Dodam jeszcze, że policzyłem wysokość trójkąta, i jest to \(\displaystyle{ 2,4 \sqrt{231}}\).

[Justka]

Nie sprawdzałam czy dobrze wyszły Ci przekątne, ale zakładając, że jest okay, oznacz wierzchołki tr. ABC, gdzie \(\displaystyle{ |AB|= 45}\)- podstawa, \(\displaystyle{ |BC|=48, \ |AC|=39}\) oraz KLMN- wierzchołki wpisanego równoległoboku ( KL leży na boku AB, \(\displaystyle{ d_1=|KM| , \ d_2=|LN|}\)).

i teraz z Talesa: \(\displaystyle{ \frac{45}{48}=\frac{MN}{MC}}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{48-MC}{d_1}=\frac{48}{39}}\), w drugim równaniu oblicz MC, podstaw do pierwszego i będziesz miał już jeden bok równoległoboku tj. MN. Podobnie pójdzie obliczyć długość drugiego boku

[dawid.barracuda]

Boki powinny wyjść 15 i 25. Nie wychodzi, więc gdzieś zrobiłem błąd. Proszę o pomoc w znalezieniu błędu

[Justka]

Mam lepszy pomysł Zauważ, że powstały nam trzy równoległoboki KLMN wyjściowy oraz LBMN i MNKA, zatem \(\displaystyle{ |MN|=|LB|=|AK|}\) i to załatwia sprawę boku MN, bo \(\displaystyle{ |AB|=|MN|+|LB|+|AK|=3|MN|}\) stąd \(\displaystyle{ |MN|=15}\). ;P

[dawid.barracuda]

Przyznaję, mistrzostwo świata, w życiu bym tego nie zauważył :] Ale jak sprawdzam, to nie popełniłem chyba błędu w przekątnych. Dzięki za pomoc po raz wtóry. A teraz jak najprościej wyznaczyć drugi bok?

[Justka]

Drugi bok, hm nie wiem czy to najprościej (pewnie nie ), ale możemy obliczyć przekątną \(\displaystyle{ KM=d_1=26}\) oraz odcinek MC (podobnie układem jak w moim pierwszym poście, tylko mamy dane a), wtedy szukany bok jest środkową trójkąta KBM o bokach 30,26,32, a wzór na środkową to jak dobrze pamiętam \(\displaystyle{ k= \frac{1}{2} \sqrt{2a^2+2b^2-c^2 }}\) gdzie c bok na który środkowa ta pada.

p.s przepraszam, że odpisuje z takim opóźnieniem, ale biegam po kuchni i robię to zadanie troszkę w doskoku

[dawid.barracuda]

Rozwiązanie rozumiem, tylko zastanawia mnie gdzie zrobiłem błąd, bo w moich obliczeniach przekątne są diametralnie inne. Jakich użyłaś proporcji żeby policzyć przekątne?
Nie ma problemu, że z opóźnieniem, wielkie dzięki za poświęcony czas :]



Od razu dam mój rysunek.

[Justka]

Szczerze to ja przekątnych nie liczyłam, skupiłam się bardziej na znalezieniu boków. Pokaż swój tok rozumowania z tymi przekątnymi, znajdziemy błąd

[dawid.barracuda]

Więc przekątne liczyłem tak:

\(\displaystyle{ \frac{CB}{e} = \frac{AB}{CA} \Rightarrow \frac{48}{e} = \frac{45}{39} \Rightarrow e = 41 \frac{3}{5}}\)

\(\displaystyle{ \frac{CB}{AB} = \frac{CA}{f} \Rightarrow \frac{48}{45} = \frac{39}{f} \Rightarrow f = 36 \frac{9}{16}}\)

[Justka]

Więc przekątne liczyłem tak:

\(\displaystyle{ \frac{CB}{e} = \frac{AB}{CA} \Rightarrow \frac{48}{e} = \frac{45}{39} \Rightarrow e = 41 \frac{3}{5}}\)

hm jak już to \(\displaystyle{ \frac{CB}{e}=\frac{AB}{AL}}\) lub \(\displaystyle{ \frac{CB}{e}=\frac{AC}{AN}}\), albo nawet \(\displaystyle{ \frac{AC}{AB}=\frac{AN}{AL}}\), lecz na pewno nie tak jak napisałeś Myślę, że bez boku MN, nie da się policzyć przekątnych.

[dawid.barracuda]

Ale bok MN policzyliśmy i jest to 15. A każdy odcinek na podstawie jest równy, więc z tych zależności co podałaś mogę już policzyć przekątną e, prawda?

[Justka]

Tak, teraz jak już mamy MN to łatwo policzyć przekątną e oraz f.

[dawid.barracuda]

Mam tak:

\(\displaystyle{ \frac{CB}{e} = \frac{AB}{AL} \Rightarrow \frac{48}{e} = \frac{45}{30} \Rightarrow e = 32}\)

\(\displaystyle{ \frac{CA}{f} = \frac{AB}{AL} \Rightarrow \frac{39}{f} = \frac{45}{30} \Rightarrow f = 26}\)

Dobrze tak będzie?