Udowodnić że trójkąt jest prostokątny równoramienny
-
myszka666
- Użytkownik
- Posty: 107
- Rejestracja: 5 maja 2010, o 23:26
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Pkr
- Podziękował: 35 razy
Udowodnić że trójkąt jest prostokątny równoramienny
Udowodnij, że jeżeli w trójkącie długości dwóch wysokości są nie mniejsze od długości boków, na które są opuszczone, to trójkąt ten jest prostokątny równoramienny.
-
irena_1
- Użytkownik
- Posty: 496
- Rejestracja: 24 sie 2010, o 09:25
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Pomógł: 122 razy
Udowodnić że trójkąt jest prostokątny równoramienny
a, b, c- boki trójkąta
\(\displaystyle{ h_a,\ h_b,\ h_c}\)- wysokości opuszczone odpowiednio na boki a, b, c
\(\displaystyle{ \gamma}\)- kąt wewnętrzny między bokami a i b.
Z pola trójkąta:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}ah_a=\frac{1}{2}absin\gamma\\h_a=bsin\gamma \ge a\\sin\gamma \ge \frac{a}{b}}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}bh_b=\frac{1}{2}absin\gamma\\h_b=asin\gamma \ge b\\sin\gamma \ge \frac{b}{a}}\)
\(\displaystyle{ sin\gamma \le 1\\\begin{cases}\frac{a}{b} \le 1 \\ \frac{b}{a} \le 1 \end{cases} \\ \begin{cases} a \le b \\ b \le a\end{cases} \\a=b\\sin\gamma \ge \frac{a}{a}\ \Rightarrow \ sin\gamma \ge 1\ \Rightarrow \ sin\gamma=1\ \Rightarrow \ \gamma=90^0}\)
\(\displaystyle{ h_a,\ h_b,\ h_c}\)- wysokości opuszczone odpowiednio na boki a, b, c
\(\displaystyle{ \gamma}\)- kąt wewnętrzny między bokami a i b.
Z pola trójkąta:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}ah_a=\frac{1}{2}absin\gamma\\h_a=bsin\gamma \ge a\\sin\gamma \ge \frac{a}{b}}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}bh_b=\frac{1}{2}absin\gamma\\h_b=asin\gamma \ge b\\sin\gamma \ge \frac{b}{a}}\)
\(\displaystyle{ sin\gamma \le 1\\\begin{cases}\frac{a}{b} \le 1 \\ \frac{b}{a} \le 1 \end{cases} \\ \begin{cases} a \le b \\ b \le a\end{cases} \\a=b\\sin\gamma \ge \frac{a}{a}\ \Rightarrow \ sin\gamma \ge 1\ \Rightarrow \ sin\gamma=1\ \Rightarrow \ \gamma=90^0}\)