Twierdzenie Carnota - dowód

Revoxen · Post autor: **Revoxen** » 25 maja 2010, o 16:36

Witam!
Potrzebuje jak najszybciej o ile to możliwe dowodu na słuszność twierdzenia Carnota
\(\displaystyle{ d=\frac{1}{2}\sqrt{2a^2+2b^2-c^2}}\)

Jest to na podwyższenie mojej oceny z matematyki więc bardzo mi na tym zależy!
Z góry dziękuje .
Pozdrawiam

TheBill · Post autor: **TheBill** » 25 maja 2010, o 16:45

Twierdzenie Carnota to tw. cosinsów, nie wiem co to za wzór, który podałeś, ale dowód tego twierdzenia łatwo znajdziesz w internecie.

Revoxen · Post autor: **Revoxen** » 25 maja 2010, o 16:48

W tym rzecz ,że właśnie nie moge znaleść hjest to twierdzenie na obliczanie środkowych trójkąta...

Justka · Post autor: **Justka** » 25 maja 2010, o 16:52

wzór, który podałeś określa długość środkowej poprowadzonej do boku c trójkąta. I rzeczywiście można go wyznaczyć, korzystając z tw. cosinusów:

\(\displaystyle{ \begin{cases} b^2=d^2+(\frac{1}{2}c)^2-2d \cdot \frac{1}{2}c \cdot \cos \alpha \\
a^2=d^2+(\frac{1}{2}c)^2-2d \cdot \frac{1}{2}c \cdot \cos (\pi - \alpha) \end{cases} \ \Rightarrow \ d= ...}\)

Revoxen · Post autor: **Revoxen** » 25 maja 2010, o 17:03

A mógłbyś mi jakoś wytłumaczyć dlaczego tak się ten dowód wyprowadza? Bo myśle ,że sam zapis jutro na lekcji nic mi nie da... A chcałbym wiedzieć dlaczego tak jest .. naprzykłąd dlaczego jest

Justka · Post autor: **Justka** » 25 maja 2010, o 17:10

: AU; 23w64k8.jpg (15.25 KiB) Przejrzano 705 razy

Mogłabym.
Tw. cosinusów dla trójkątów \(\displaystyle{ ADC}\) oraz \(\displaystyle{ BDC}\)
\(\displaystyle{ |CD|=d, |AC|=a, |BC|=b}\) oraz \(\displaystyle{ \sphericalangle BDC=\alpha}\), czyli \(\displaystyle{ \sphericalangle ADC=\pi - \alpha}\) ;]

p.s Jeśli można wiedzieć o jaką ocenę 'walczysz' ?

Revoxen · Post autor: **Revoxen** » 25 maja 2010, o 17:14

O ocenę "dobrą" ,tylko mam z tym duży problem ,ponieważ nauczyciel kazał mi udowodnić twierdzenie z działu zupełnie innego niż teraz bierzemy więc mam kłopot z jego zrozumieniem.Po twoim wytłumaczeniu niestety dalej mi nci nie świta w ełbie Gbybym tylko przerabiał ten dział napewno nie robił bym tylu kłopotów..
P.S. Już zrozumiałem Dzięki!

-- 25 maja 2010, o 17:40 --

Tak to znowu ja Słuchajcie wiem co znaczą poszczególne literki ,ale mam problem z doprowadzeniem pierwotnej wersji dowodu do wzoru który podałem na początku tematu , pomoglibyście?

kamarkiewicz · Post autor: **kamarkiewicz** » 25 wrz 2012, o 22:06

Zamieszczę dowód dla potomnych, bo sam potrzebowałem tego dowodu i przez długi czas nie mogłem go znaleźć...

\(\displaystyle{ \begin{cases} b^2=d^2+(\frac{1}{2}c)^2-2d \cdot \frac{1}{2}c \cdot \cos (\alpha) \\ a^2=d^2+(\frac{1}{2}c)^2-2d \cdot \frac{1}{2}c \cdot \cos (\pi - \alpha) \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \cos (\pi - \alpha) = -\cos (\alpha)}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} b^2=d^2+(\frac{1}{2}c)^2-2d \cdot \frac{1}{2}c \cdot \cos (\alpha) \\ a^2=d^2+(\frac{1}{2}c)^2+2d \cdot \frac{1}{2}c \cdot \cos (\alpha) \end{cases} \ /+}\)

\(\displaystyle{ 2d^2 = a^2+b^2-\frac{1}{2}c^2}\)

\(\displaystyle{ d^2 = \frac{1}{2}\left( a^2+b^2-\frac{1}{2}c^2 \right)}\) wyciągamy \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) poza nawias

\(\displaystyle{ d^2 = \frac{1}{4}\left( 2a^2+2b^2-c^2 \right)}\) pierwiastkujemy, bo obie strony są dodatnie

\(\displaystyle{ d = \frac{1}{2} \sqrt{ 2a^2+2b^2-c^2 }}\) co jest tezą.