Matematyka.pl

1.Udowodnij, że skoro ciąg \(\displaystyle{ a(n)}\) - ciąg arytmetyczny to ciąg \(\displaystyle{ b(n)=7 ^{a(n)}}\) - ciąg geometryczny.
Proszę o pomoc

Skoro \(\displaystyle{ a_{n}}\) jest arytmetyczny, to istnieje taka liczba d, że dla dowolnego naturalnego n \(\displaystyle{ a_{n+1}-a_{n}=d}\), czyli \(\displaystyle{ a_{n+1}=a_{n}+d}\). Dla dowolnego naturalnego n mamy zatem \(\displaystyle{ \frac{b_{n+1}}{b_{n}}= \frac{7^{a_{n+1}}}{7^{a_{n}}}= \frac{7^{a_{n}+d}}{7^{a_{n}}}=7^{d}}\), co oznacza, ze ciąg \(\displaystyle{ b_{n}}\) jest ciągiem geometrycznym o ilorazie \(\displaystyle{ 7^{d}}\).