Pole powierzchni trójkąta krzywoliniowego.

[Adam24]

Treść zadania:
Trzy okręgi parami zewnętrznie styczne ograniczają trójkąt krzywoliniowy. Obliczyć pole powierzchni tego trójkąta wiedząc, że promień okręgu opisanego na figurze utworzonej z wymienionych trzech okręgów równy jest \(\displaystyle{ R}\).

Zastanawiam się w ogóle, czy w treści zadania nie ma błędu. Bo znalazłem podobne zadanie z tym, że była dodatkowo podana informacja, że wszystkie trzy parami zewnętrznie styczne okręgi mają równy promień. Próbowałem rozwiązywać bez tej informacji, ale jakoś nie mam pomysłu i nie wiem czy dalej mam się męczyć i myśleć czy może po prostu jest za mało informacji do rozwiązania.

[darkangel36]

moim zdaniem w zadaniu nie ma błedu.
w zasadzie wszystko mozesz od siebie uzaleznic majac do dyspozycji R. Na poczatku oblicz sobie pole trójkata powstałego w wyniku pktow styku okregów ze wzoru:
\(\displaystyle{ S= \frac{abc}{4R}}\) => gdzie a,b,c to boki trójkata.
pozniej wylicz długosci a,b,c np:
\(\displaystyle{ a= \sqrt{2* R_{1}^2 *(1-cos \alpha )}}\)
\(\displaystyle{ b= \sqrt{2* R_{2}^2 *(1-cos \beta )}}\)
\(\displaystyle{ c= \sqrt{2* R_{3}^2 *(1-cos \gamma )}}\)

nastepnie mozesz wyliczyc a,b,c uzalezniajac je od R:
\(\displaystyle{ a= \sqrt{2* R^2 *(1+cos \alpha )}}\)
\(\displaystyle{ b= \sqrt{2* R^2 *(1+cos \beta )}}\)
\(\displaystyle{ c= \sqrt{2* R^2 *(1+cos \gamma )}}\)

no i chyba wiekszosc juz zrobiona...

[Adam24]

moim zdaniem w zadaniu nie ma błedu.
w zasadzie wszystko mozesz od siebie uzaleznic majac do dyspozycji R. Na poczatku oblicz sobie pole trójkata powstałego w wyniku pktow styku okregów ze wzoru:
\(\displaystyle{ S= \frac{abc}{4R}}\) => gdzie a,b,c to boki trójkata.

\(\displaystyle{ R}\) u Ciebie to zdaje się promień okręgu opisanego na tym trójkącie, którego wierzchołkami są punkty styku tych trzech mniejszych okręgów. A z tego co zrozumiałem to w zadaniu \(\displaystyle{ R}\) to długość promienia okręgu opisanego na tych trzech okręgach.

Nawet jeśli mielibyśmy pole tego trójkąta, o którym mówisz to nadal nie rozumiem jak potem wyliczyć pole tego krzywoliniowego.

[darkangel36]

hm. po prostu wyliczasz pola wycinkow kolowych od nich odejmujesz pola trojkatow (gdzie ramionami sa R1,R2 i R3 a podstawami a,b,c) i dzieki temu masz juz pola czesci kół ograniczonych cieciwami a,b,c.
Kolejno natomiat odejmujesz sume własnie tych pol od
\(\displaystyle{ S= \frac{abc}{4R}}\)

[Adam24]

Zaczynam rozumieć, gdyż na początku myślałem, że "promień okręgu opisanego na figurze utworzonej z wymienionych trzech okręgów" oznacza promień okręgu opisanego na tych trzech pozostałych okręgach, a nie na tym trójkącie krzywoliniowym.

Mam więc:

\(\displaystyle{ a= \sqrt{2* R_{1}^2 *(1-cos \alpha )}}\)
\(\displaystyle{ a= \sqrt{2* R^2 *(1+cos \alpha )}}\)

Stąd wyliczamy \(\displaystyle{ R_1=R \frac{1+cos \alpha}{sin \alpha}}\)

Pole fragmentu okręgu wynosi: \(\displaystyle{ \pi R_1^2\frac{\alpha}{360}-\frac{1}{2}R_1^2\sin \alpha}\)

A więc w końcowym wzorze na szukane pole trójkąta zostają nam kąty. Jak się ich pozbyć?
Gdyby promienie wszystkich okręgów były jednakowe to każdy z kątów byłby równy 60 stopni i byłoby po problemie. A co zrobić w takiej sytuacji?