Pole trójkąta prostokątnego

[bedbet]

Rzut prostopadły promienia okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny podzielił przeciwprostokątną trójkąta na dwa odcinki. Wykaż, że pole tego trójkąta można wyrazić poprzez iloczyn długości otrzymanych odcinków.

Ma Ktoś pomysł na najprostszy sposób na to zadanie? Jak najszybciej to wykazać?

[janusz47]

Korzystamy z równości odcinków stycznych do okręgu wpisanego, wyprowadzonych z wierzchołków trójkąta (rysunek).

[bedbet]

A w jaki sposób korzystasz konkretnie z tego faktu?

[piasek101]

\(\displaystyle{ a,b}\) - odcinki na przeciwprostokątnej

\(\displaystyle{ P=0,5(a+r)(b+r)}\) do tego Pitagoras do wyznaczenia \(\displaystyle{ r}\) (no prawie).

[janusz47]

Czy trzeba stosować twierdzenie Pitagorasa do wyznaczenia długości promienia \(\displaystyle{ r ?}\)

Co oznacza zwrot "no prawie" ?

\(\displaystyle{ a, \ \ b }\) - odcinki przeciwprostokątnej:

\(\displaystyle{ P = 0,5 \cdot (a + r)\cdot (b+r) = 0,5\cdot ( a\cdot b +a\cdot r + b\cdot r + r^2) }\)

\(\displaystyle{ P = 0,5\cdot [ a\cdot b + (a + b + r)\cdot r] }\)

\(\displaystyle{ P = 0,5 \cdot ( a\cdot b + p \cdot r) , \ \ p = a + b + r }\) - połowa obwodu trójkąta

\(\displaystyle{ P = 0,5 \cdot ( a\cdot b + P) }\)

\(\displaystyle{ P = 0,5\cdot a\cdot b + 0,5 \cdot P }\)

\(\displaystyle{ 0,5 \cdot P = 0,5\cdot a\cdot b }\)

\(\displaystyle{ P = a\cdot b. }\)

[piasek101]

Czy trzeba stosować twierdzenie Pitagorasa do wyznaczenia długości promienia \(\displaystyle{ r ?}\)

Co oznacza zwrot "no prawie" ?

\(\displaystyle{ P=0,5(a+r)(a+r)=0,5[ab+(ar+br+r^2)]}\)

\(\displaystyle{ (a+r)^2+(b+r)^2=(a+b)^2}\) z ostatniego \(\displaystyle{ ar+br+r^2=ab}\) czyli ,,no prawie".

[bedbet]

Te rozwiązania znam, dzięki za pomoc. Szukam jakiegoś sposobu geometrycznego na to zadanie. Jak zmieścić ten trójkąt w prostokącie. Nie bardzo też rozumiem uzasadnienia z zagranicznej Wikipedii. Mianowicie jeśli \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) będą przyprostokątnymi w trójkącie, zaś \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) omawianymi odcinkami przeciwprostokątnej to wówczas:

\(\displaystyle{ x=p-a \\ y=p-b}\)

Więc pole będzie wyrażało się wzorem:

\(\displaystyle{ P=(p-a)(p-b)=xy}\)

[kerajs]

Trójkąt można podzielić na kwadrat o boku \(\displaystyle{ r}\), oraz dwie pary trójkątów prostokątnych o przyprostokątnych \(\displaystyle{ a-r}\) i \(\displaystyle{ r}\) oraz \(\displaystyle{ b-r}\) i \(\displaystyle{ r}\), a stąd:
\(\displaystyle{ P_{\Delta}=r^2+2 \cdot \frac{1}{2} (a-r)r+2 \cdot \frac{1}{2} (b-r)r=r(a+b)-r^2}\)

Teraz iloczyn z zadania
\(\displaystyle{ (a-r)(b-r)=ab-r(a+b)+r^2=2P_{\Delta}-\left[ r(a+b)-r^2\right]=... }\)
po wstawieniu pierwszej zależności daje:
\(\displaystyle{ ...=2P_{\Delta}-P_{\Delta}=P_{\Delta}}\)

[bedbet]

Dziękuję za odpowiedź.

[piasek101]

Wykaż, że pole trójkąta jest równe