Pole i trójkąt

Dział całkowicie poświęcony zagadnieniom związanymi z trójkątami. Temu co się w nie wpisuje i na nich opisuje - też...
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6924
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2617 razy
Pomógł: 687 razy

Pole i trójkąt

Post autor: mol_ksiazkowy » 9 wrz 2021, o 16:04

Jakie jest maksymalne pole trójkąta o bokach \(\displaystyle{ AP, BP, CP}\) gdzie \(\displaystyle{ P}\) jest punktem wewnętrznym trójkąta równobocznego o boku \(\displaystyle{ 1}\) ?
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Gouranga
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1454
Rejestracja: 16 maja 2013, o 17:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Trójmiasto
Podziękował: 11 razy
Pomógł: 220 razy

Re: Pole i trójkąt

Post autor: Gouranga » 12 wrz 2021, o 13:44

Sprawdź może przypadki skrajne, kiedy P jest w pobliżu wierzchołka dwa boki będą dążyć do 1, jeden do 0 więc słabo, kiedy P jest na środku jednego z boków dwa dążą do 1/2, jeden do \(\displaystyle{ 1/2 \sqrt{3}}\), kiedy P jest środkiem ciężkości wszystkie są równe \(\displaystyle{ 1/3 \sqrt{3}}\), to powinien być jakiś punkt zaczepienia do udowodnienia dlaczego jest tak jak jest

kruszewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6877
Rejestracja: 7 gru 2010, o 16:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Staszów
Podziękował: 49 razy
Pomógł: 1108 razy

Re: Pole i trójkąt

Post autor: kruszewski » 12 wrz 2021, o 23:10

Z rysunku zauważamy, że pole trójkąta o bokach AP, BP, i CP jest równe trzeciej części pola trójkąta ABC.
Wiedząc jednocześnie, że pole trójkąta o stałej mierze obwodu osiąga maksimum wtedy, kiedy jest on trójkątem równobocznym o boku miary trzeciej części jego obwodu.
Stąd pole trójkąta tak zbudowanego jak polecono w zadaniu jest równe trzeciej części pola trójkąta o boku miary 1.
Załączniki
Bez tytułu TRójkąt .png

ODPOWIEDZ