dwusieczna kąta BAC jest równa wysokości poprowadzonej z wierzchołka B
-
- Użytkownik
- Posty: 138
- Rejestracja: 14 wrz 2018, o 18:56
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Brak
- Podziękował: 31 razy
- Pomógł: 4 razy
dwusieczna kąta BAC jest równa wysokości poprowadzonej z wierzchołka B
W trójkącie ABC \(\displaystyle{ BC=a, AC=b}\) kąt \(\displaystyle{ ABC= \beta }\), kąt \(\displaystyle{ ACB= \gamma }\). Wykaż że dwusieczna kąta \(\displaystyle{ BAC }\) jest równa wysokości poprowadzonej z wierzchołka B wtedy i tylko wtedy gdy \(\displaystyle{ b=a \cdot \cos\frac{\beta-\gamma}2}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 2959
- Rejestracja: 8 sie 2009, o 23:05
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 281 razy
- Pomógł: 498 razy
Re: dwusieczna kąta BAC jest równa wysokości poprowadzonej z wierzchołka B
Niech L to punkt przecięcia BC z dwusieczną kąta A i K to spodek wysokości opuszczonej z wierzchołka B. Niech \(\displaystyle{ x=\angle LAC= \angle LAB = 90^o -\frac{\beta+\gamma}{2}}\).
Niech najpierw BK=AL. Wtedy \(\displaystyle{ \angle ALB =180^o - x-\beta=90^o+\frac{\gamma-\beta}{2}}\) i \(\displaystyle{ \angle ALC = 180^o-\angle ALB = 90^o+\frac{\beta-\gamma}{2}}\).
Ponieważ \(\displaystyle{ \frac{BK}{a}=\sin \gamma}\) to \(\displaystyle{ BK=a \sin \gamma}\) i z założenia \(\displaystyle{ AL=a \sin \gamma}\).
Z tw. sinusów w trójkącie ACL:
\(\displaystyle{ \frac{b}{ \sin \left(90^o + \frac{\beta-\gamma}{2}\right)}=\frac{AL}{\sin \gamma}=a}\) czyli \(\displaystyle{ b=a \cos \frac{\beta-\gamma}{2}}\). To samo rozumowanie działa w drugą stronę:
Niech \(\displaystyle{ b=a \cos \frac{\beta-\gamma}{2}}\) czyli \(\displaystyle{ \frac{b}{ \sin \left(90^o + \frac{\beta-\gamma}{2}\right)}=a}\). Mamy, że \(\displaystyle{ \frac{BK}{a}=\sin \gamma}\) czyli \(\displaystyle{ BK=a \sin \gamma}\). Z tw. sinusów \(\displaystyle{ \frac{b}{ \sin \left(90^o + \frac{\beta-\gamma}{2}\right)}=\frac{AL}{\sin \gamma}}\) skąd \(\displaystyle{ \frac{AL}{\sin \gamma} = a}\) i to daje, że AL=BK.
Niech najpierw BK=AL. Wtedy \(\displaystyle{ \angle ALB =180^o - x-\beta=90^o+\frac{\gamma-\beta}{2}}\) i \(\displaystyle{ \angle ALC = 180^o-\angle ALB = 90^o+\frac{\beta-\gamma}{2}}\).
Ponieważ \(\displaystyle{ \frac{BK}{a}=\sin \gamma}\) to \(\displaystyle{ BK=a \sin \gamma}\) i z założenia \(\displaystyle{ AL=a \sin \gamma}\).
Z tw. sinusów w trójkącie ACL:
\(\displaystyle{ \frac{b}{ \sin \left(90^o + \frac{\beta-\gamma}{2}\right)}=\frac{AL}{\sin \gamma}=a}\) czyli \(\displaystyle{ b=a \cos \frac{\beta-\gamma}{2}}\). To samo rozumowanie działa w drugą stronę:
Niech \(\displaystyle{ b=a \cos \frac{\beta-\gamma}{2}}\) czyli \(\displaystyle{ \frac{b}{ \sin \left(90^o + \frac{\beta-\gamma}{2}\right)}=a}\). Mamy, że \(\displaystyle{ \frac{BK}{a}=\sin \gamma}\) czyli \(\displaystyle{ BK=a \sin \gamma}\). Z tw. sinusów \(\displaystyle{ \frac{b}{ \sin \left(90^o + \frac{\beta-\gamma}{2}\right)}=\frac{AL}{\sin \gamma}}\) skąd \(\displaystyle{ \frac{AL}{\sin \gamma} = a}\) i to daje, że AL=BK.