trójkąt prostokątny

Dział całkowicie poświęcony zagadnieniom związanymi z trójkątami. Temu co się w nie wpisuje i na nich opisuje - też...
ann_u
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 112
Rejestracja: 14 wrz 2018, o 18:56
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Brak
Podziękował: 21 razy
Pomógł: 4 razy

trójkąt prostokątny

Post autor: ann_u » 16 lip 2021, o 15:48

Niech P,Q i R będą środkami trzech wysokości trójkąta leżącymi na jednej prostej. Wykaż że jeden z kątów tego trójkąta wynosi \(\displaystyle{ 90^o.}\)
https://zapodaj.net/images/cea081d8b521f.png
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

kruszewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6842
Rejestracja: 7 gru 2010, o 16:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Staszów
Podziękował: 45 razy
Pomógł: 1105 razy

Re: trójkąt prostokątny

Post autor: kruszewski » 18 lip 2021, o 16:02

Niech punkt\(\displaystyle{ R}\) będzie środkiem wysokości dowolnej miary \(\displaystyle{ 2|r|}\) i tworzącej z prostą \(\displaystyle{ t(P,Q,R)}\) dowolny kąt ostry.
Wtedy skrajne punkty wysokości o środku w \(\displaystyle{ R}\) można ustalić np. z rysunku, są to punkty \(\displaystyle{ A \ i \ C}\) wyznaczające prostą do której jest prostopadły (warunek bycia \(\displaystyle{ AC}\) wysokością). Prostą tę określa jednoznacznie punkt krańcowy wysokości np \(\displaystyle{ A}\) i wymóg jej postopadłości.
Zauważamy, że do tej prostej przynależy ten bok trójkąta , bok \(\displaystyle{ AB \perp AC }\)
Podobnie, jeżeli \(\displaystyle{ P }\) połowi wysokość trójkąta prostopadłą do \(\displaystyle{ AC}\) , teraz podstawy trójkąta, to zauważamy, że raz jest jego wysokością a raz jego bokiem, podobnie \(\displaystyle{ AC}\) . Stąd wnioskujemy, że \(\displaystyle{ AC}\) i \(\displaystyle{ AB}\) są bokami trójkąta prostokątnego czego należało dowieść .

ODPOWIEDZ