Wyznaczyć miarę kąta rozwartego w trójkącie

Dział całkowicie poświęcony zagadnieniom związanymi z trójkątami. Temu co się w nie wpisuje i na nich opisuje - też...
41421356
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 538
Rejestracja: 11 maja 2016, o 13:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 495 razy
Pomógł: 5 razy

Wyznaczyć miarę kąta rozwartego w trójkącie

Post autor: 41421356 »

W trójkącie rozwartokątnym \(\displaystyle{ ABC}\) dane są długości boków: \(\displaystyle{ |AB|=3\sqrt{2}, \ \ |BC|=3-\sqrt{3}, \ \ |AC|=2\sqrt{3}}\). Wyznacz miarę kąta \(\displaystyle{ |\angle C|}\).

Rozwiązanie (dosyć skomplikowane) znam. Szukam jednak najszybszego sposobu na to zadanie. Umieszczone jest ono w dziale dotyczącym twierdzenia sinusów (czyt. jeszcze przed działem z twierdzenia kosinusów).
szw1710

Re: Wyznaczyć miarę kąta rozwartego w trójkącie

Post autor: szw1710 »

(czyt. jeszcze przed działem z twierdzenia kosinusów).
No dokładnie - rozwiązanie z użyciem twierdzenia cosinusów będzie najprostsze. Widać z niego, że kąt \(\angle C\) ma \(120^{\circ}.\) Więc będzie tu coś z sześciokąta foremnego. Z tym bym to kojarzył. Albo z kątem wpisanym. Odpowiadający mu kąt środkowy będzie \(240^{\circ}\).

Generalnie znając już jedno rozwiązanie często szuka się innego będąc jakoś ukierunkowanym.
Awatar użytkownika
JHN
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 668
Rejestracja: 8 lip 2007, o 18:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 206 razy

Re: Wyznaczyć miarę kąta rozwartego w trójkącie

Post autor: JHN »

Wersja z ekierkami, dla spostrzegawczych gimnazjalistów:
Na trójkącie o bokach \(\displaystyle{ 3.\ 3,\ 3\sqrt2}\) połóż trójkąt o bokach \(\displaystyle{ \sqrt3,\ 3,\ 2\sqrt3}\) tak, aby miały wspólny bok... Wyznaczysz trójkąt o kątach \(\displaystyle{ 15^\circ,\ 45^\circ ,\ 120^\circ}\)

Pozdrawiam
szw1710

Re: Wyznaczyć miarę kąta rozwartego w trójkącie

Post autor: szw1710 »

JHN pisze: 13 cze 2021, o 00:04 Wersja z ekierkami, dla spostrzegawczych gimnazjalistów:
Na trójkącie o bokach \(\displaystyle{ 3.\ 3,\ 3\sqrt2}\) połóż trójkąt o bokach \(\displaystyle{ \sqrt3,\ 3,\ 2\sqrt3}\) tak, aby miały wspólny bok... Wyznaczysz trójkąt o kątach \(\displaystyle{ 15^\circ,\ 45^\circ ,\ 120^\circ}\)

Pozdrawiam
Czy rozwiązanie to znalazłeś wiedząc, że szukany kąt ma \(120^{\circ}\)? Nie sądzę, że to zadanie "dla spostrzegawczych gimnazjalistów".
Awatar użytkownika
timon92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1654
Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 472 razy

Re: Wyznaczyć miarę kąta rozwartego w trójkącie

Post autor: timon92 »

szw1710 pisze: 13 cze 2021, o 00:20
JHN pisze: 13 cze 2021, o 00:04 Wersja z ekierkami, dla spostrzegawczych gimnazjalistów:
Na trójkącie o bokach \(\displaystyle{ 3.\ 3,\ 3\sqrt2}\) połóż trójkąt o bokach \(\displaystyle{ \sqrt3,\ 3,\ 2\sqrt3}\) tak, aby miały wspólny bok... Wyznaczysz trójkąt o kątach \(\displaystyle{ 15^\circ,\ 45^\circ ,\ 120^\circ}\)

Pozdrawiam
Czy rozwiązanie to znalazłeś wiedząc, że szukany kąt ma \(120^{\circ}\)? Nie sądzę, że to zadanie "dla spostrzegawczych gimnazjalistów".
dlaczego sądzisz, że nie jest to zadanie "dla spostrzegawczych gimnazjalistów"?

myślę, że za czasów gimnazjalnych bez problemu byłbym w stanie znaleźć takie rozwiązanie (być może to oznacza, że za młodu nie byłem "spostrzegawczym gimnazjalistą")
41421356
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 538
Rejestracja: 11 maja 2016, o 13:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 495 razy
Pomógł: 5 razy

Re: Wyznaczyć miarę kąta rozwartego w trójkącie

Post autor: 41421356 »

Myślałem właśnie aby zaczepić się tego drugiego kąta, którego miara jest równa \(\displaystyle{ 45°}\).

Dodano po 38 minutach 17 sekundach:
JHN pisze: 13 cze 2021, o 00:04 Wersja z ekierkami, dla spostrzegawczych gimnazjalistów:
Na trójkącie o bokach \(\displaystyle{ 3.\ 3,\ 3\sqrt2}\) połóż trójkąt o bokach \(\displaystyle{ \sqrt3,\ 3,\ 2\sqrt3}\) tak, aby miały wspólny bok... Wyznaczysz trójkąt o kątach \(\displaystyle{ 15^\circ,\ 45^\circ ,\ 120^\circ}\)

Pozdrawiam
A mógłbyś przybliżyć to rozumowanie? Postępując według tych wskazówek wychodzi przecież trójkąt \(\displaystyle{ 45°, 60°, 75°}\).


Edit: Już mam, nie wyłapałem, że trzeba odłożyć ten drugi trójkąt do wewnątrz pierwszego.
piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23493
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3263 razy

Re: Wyznaczyć miarę kąta rozwartego w trójkącie

Post autor: piasek101 »

Takie zadania proponowałem rozwiązywać (z Pitagorasa) po dorysowaniu np. wysokości z wierzchołka A.
41421356
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 538
Rejestracja: 11 maja 2016, o 13:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 495 razy
Pomógł: 5 razy

Re: Wyznaczyć miarę kąta rozwartego w trójkącie

Post autor: 41421356 »

A jak to policzyć z wykorzystaniem twierdzenia sinusów? Z jakiegoś powodu to zadanie znalazło się w tym konkretnym dziale.
ODPOWIEDZ