Trójkąt równoramienny - szukanie kąta

Dział całkowicie poświęcony zagadnieniom związanymi z trójkątami. Temu co się w nie wpisuje i na nich opisuje - też...
matmatmm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1993
Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec
Podziękował: 75 razy
Pomógł: 291 razy

Re: Trójkąt równoramienny - szukanie kąta

Post autor: matmatmm » 24 paź 2020, o 19:24

Mendzik pisze:
24 paź 2020, o 18:12
matmatmm pisze:
24 paź 2020, o 17:51

Ponadto \(\displaystyle{ AE\cdot ED=\frac{a^2\sqrt{4b^2-a^2}}{b}}\)
To wiemy skąd?
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}AE\cdot ED\cdot\frac{a}{2b}=\frac{1}{2}AE\cdot ED\sin\alpha =[AED]=\frac{a}{b}[AEC]=\frac{a}{b}\cdot\frac{a}{b}[ABC]=\frac{a^2}{b^2}\cdot\frac{1}{2}a\sqrt{b^2-\frac{a^2}{4}}}\)
I doszłam do momentu, gdzie: \(\displaystyle{ a^2=2a^2+2(b-a)^2-2a(b-a)(1-\frac{t^2}{2})-2a(b-a)\frac{t}{2}-2ta\sqrt{4b^2-a^2}\sqrt{1-\frac{1}{4}t^2}}\)
Podziel obustronnie równanie przez \(\displaystyle{ b^2}\). Równanie powinno zależeć tylko od zmiennej \(\displaystyle{ t}\).

Mendzik
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 60
Rejestracja: 21 gru 2017, o 14:32
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gliwice
Podziękował: 21 razy
Pomógł: 1 raz

Re: Trójkąt równoramienny - szukanie kąta

Post autor: Mendzik » 24 paź 2020, o 20:54

Dobra, jest duży progres. Dostałam równanie \(\displaystyle{ 2t^4-2t^3-7t^2+6t-2=0}\). Wierzę, że można z tym coś zrobić (albo doszukam się błędu w obliczeniach, którego chwilowo nie widzę), ale może ktoś z Was przerabiał to zadanie i może udzielić informacji czy ten wielomian jest chociażby poprawny?

matmatmm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1993
Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec
Podziękował: 75 razy
Pomógł: 291 razy

Re: Trójkąt równoramienny - szukanie kąta

Post autor: matmatmm » 24 paź 2020, o 20:57

Wygląda na to, że masz błąd, bo mnie wyszło równanie \(\displaystyle{ t^3-3t+1=0}\) i ten wynik jest raczej dobry, bo doliczyłem zadanie do końca.

Mendzik
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 60
Rejestracja: 21 gru 2017, o 14:32
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gliwice
Podziękował: 21 razy
Pomógł: 1 raz

Re: Trójkąt równoramienny - szukanie kąta

Post autor: Mendzik » 25 paź 2020, o 10:21

matmatmm pisze:
24 paź 2020, o 20:57
Wygląda na to, że masz błąd, bo mnie wyszło równanie \(\displaystyle{ t^3-3t+1=0}\) i ten wynik jest raczej dobry, bo doliczyłem zadanie do końca.
Dzięki, faktycznie gdzieś tam po drodze się wkradł błąd. Mam teraz to samo.

W jaki sposób przekształciłeś ten wielomian? Rozwiązania, które dostaję są dosyć.. dziwne? I mam wrażenie, że znowu popełniam błędy. Sprawdzałam na np. symbolabie i tam z kolei znowu są inne rozwiązania niż te moje.

matmatmm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1993
Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec
Podziękował: 75 razy
Pomógł: 291 razy

Re: Trójkąt równoramienny - szukanie kąta

Post autor: matmatmm » 25 paź 2020, o 14:06

Naturalnym sposobem byłoby rozwiązanie równania \(\displaystyle{ t^3-3t+1=0}\). Jest to jednak wielomian trzeciego stopnia, którego rozwiązania nie wyrażają się jawnym wzorem bez użycia liczb zespolonych (mimo, że pierwiastki są rzeczywiste).

Sposób na to jest następujący:

Po pierwsze sprawdzimy, że liczba \(\displaystyle{ t=2\sin 10^{\circ}}\) jest pierwiastkiem. Podstawiamy więc tę wartość do równania:

\(\displaystyle{ \left( 2\sin 10^{\circ}\right)^3-3\cdot 2 \sin 10^{\circ}+1= -2\left( 3\sin 10^{\circ}-4\sin^3 10^{\circ}\right)+1=-2\sin 30^{\circ}+1=0 }\)

Zastosowałem tutaj wzór na sinus potrojonego kąta.

Po drugie trzeba sprawdzić, że jest to jedyny pierwiastek w przedziale \(\displaystyle{ (0,1)}\), gdyż \(\displaystyle{ t=\frac{a}{b}\in (0,1)}\).

Analiza pochodnej funkcji o wzorze \(\displaystyle{ f(t)=t^3-3t+1}\) wskazuje, że \(\displaystyle{ f}\) jest ściśle malejąca w przedziale \(\displaystyle{ (0,1)}\).

Wniosek:

\(\displaystyle{ 2\sin\alpha=\frac{a}{b}=t=2\sin 10^{\circ}}\)

Mendzik
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 60
Rejestracja: 21 gru 2017, o 14:32
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gliwice
Podziękował: 21 razy
Pomógł: 1 raz

Re: Trójkąt równoramienny - szukanie kąta

Post autor: Mendzik » 25 paź 2020, o 22:56

Dobrze, wszystko jasne i klarowne. Ale załóżmy że nie wiemy że to tego sinusa mamy podstawić. Jak otrzymać takie rozwiązanie nie zakładając... rozwiązania?

matmatmm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1993
Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec
Podziękował: 75 razy
Pomógł: 291 razy

Re: Trójkąt równoramienny - szukanie kąta

Post autor: matmatmm » 25 paź 2020, o 23:16

No cóż, my nie zakładamy rozwiązania. Po prostu zgadliśmy rozwiązanie, co wcale nie sprawia, że jest to w jakiś sposób błędne albo niepełne.

Pytanie jak zgadnąć to już inna kwestia. Pewnie nie zawsze się da. Tutaj wiedziałem, że ma wyjść \(\displaystyle{ 10^{\circ}}\). Wiedziałem też, że liczby \(\displaystyle{ \sin 10^{\circ}}\) nie da się jawnie zapisać, a jedynie równaniem trzeciego stopnia.

Mendzik
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 60
Rejestracja: 21 gru 2017, o 14:32
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gliwice
Podziękował: 21 razy
Pomógł: 1 raz

Re: Trójkąt równoramienny - szukanie kąta

Post autor: Mendzik » 26 paź 2020, o 12:36

Dziękuję za wszelkie wskazówki i podpowiedzi (a wręcz odpowiedzi). Będę jeszcze próbować zrobić coś z tym, żeby to rozwiązanie 'wyszło' a nie zostało odgadnięte :)

Pozdrawiam i dziękuję za poświęcony czas.

Dodano po 6 godzinach 34 minutach 54 sekundach:
matmatmm pisze:
24 paź 2020, o 17:51

\(\displaystyle{ \frac{1}{2}AE\cdot ED\cdot\frac{a}{2b}=\frac{1}{2}AE\cdot ED\sin\alpha =[AED]=\frac{a}{b}[AEC]=\frac{a}{b}\cdot\frac{a}{b}[ABC]=\frac{a^2}{b^2}\cdot\frac{1}{2}a\sqrt{b^2-\frac{a^2}{4}}}\)
Mam ostatnie pytanie - dlaczego bierzemy tutaj akurat \(\displaystyle{ \frac{1}{2}AE}\)?

matmatmm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1993
Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec
Podziękował: 75 razy
Pomógł: 291 razy

Re: Trójkąt równoramienny - szukanie kąta

Post autor: matmatmm » 27 paź 2020, o 11:15

Można wziąć inaczej. Ja wziąłem tak, żeby lewa i prawa strona była równa polu trójkąta \(\displaystyle{ AED}\).

Mendzik
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 60
Rejestracja: 21 gru 2017, o 14:32
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gliwice
Podziękował: 21 razy
Pomógł: 1 raz

Re: Trójkąt równoramienny - szukanie kąta

Post autor: Mendzik » 29 paź 2020, o 12:09

matmatmm pisze:
27 paź 2020, o 11:15
Można wziąć inaczej. Ja wziąłem tak, żeby lewa i prawa strona była równa polu trójkąta \(\displaystyle{ AED}\).
To mogłabym Cię jeszcze prosić o rozpisanie tego równania dla większego laika? Próbuję to rozpisać, żeby zrozumieć dlaczego pole \(\displaystyle{ AED}\) równa się takiej liczbie a nie innej, ale nie mogę dojść do Twojego \(\displaystyle{ \frac{a}{b}[AEC]}\) (bo dobrze rozumiem, że tutaj to \(\displaystyle{ [AEC]}\) to pole trójkąta \(\displaystyle{ AEC}\))?

matmatmm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1993
Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec
Podziękował: 75 razy
Pomógł: 291 razy

Re: Trójkąt równoramienny - szukanie kąta

Post autor: matmatmm » 29 paź 2020, o 14:16

Tak, \(\displaystyle{ [AEC]}\) oznacza pole.

Trzeba zauważyć, że trójkąty \(\displaystyle{ AED}\) i \(\displaystyle{ AEC}\) mają wspólną wysokość opuszczoną z wierzchołka \(\displaystyle{ E}\). Stąd stosunek ich pól jest równy stosunkowi długości podstaw \(\displaystyle{ \frac{AD}{AC}=\frac{a}{b}}\).

Mendzik
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 60
Rejestracja: 21 gru 2017, o 14:32
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gliwice
Podziękował: 21 razy
Pomógł: 1 raz

Re: Trójkąt równoramienny - szukanie kąta

Post autor: Mendzik » 29 paź 2020, o 14:33

matmatmm pisze:
29 paź 2020, o 14:16
Tak, \(\displaystyle{ [AEC]}\) oznacza pole.

Trzeba zauważyć, że trójkąty \(\displaystyle{ AED}\) i \(\displaystyle{ AEC}\) mają wspólną wysokość opuszczoną z wierzchołka \(\displaystyle{ E}\). Stąd stosunek ich pól jest równy stosunkowi długości podstaw \(\displaystyle{ \frac{AD}{AC}=\frac{a}{b}}\).
I jaki związek ma to z trójkątem \(\displaystyle{ ABC}\), który jest wspomniany w kolejnym kroku? Czy też korzystamy z zależności związanej z jego wysokością?

matmatmm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1993
Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec
Podziękował: 75 razy
Pomógł: 291 razy

Re: Trójkąt równoramienny - szukanie kąta

Post autor: matmatmm » 29 paź 2020, o 21:58

Tak, dokładnie ten sam chwyt. Opuszczamy wysokość z wierzchołka \(\displaystyle{ A}\).

ODPOWIEDZ