Nierówność - trójkąt z wpisanym okręgiem

[Corinek]

Dany jest trójkąt \(\displaystyle{ ∆ABC}\). Niech \(\displaystyle{ O}\) oznacza środek okręgu wpisanego w ten trójkąt, zaś \(\displaystyle{ r}\) jego
promień. Udowodnić nierówność:
\(\displaystyle{ \left| AO \right| + \left| BO \right| + \left| CO \right| \ge ­ 6r}\)
Dla jakiego trójkąta zachodzi równość?

[janusz47]

Proszę najpierw udowadnić twierdzenie pomocnicze (lemat):

"Jeżeli \(\displaystyle{ h{a} , h_{b}, h_{c} }\) aą długościami wysokości trójkąta \(\displaystyle{ ABC }\) opuszczonymi odpowiednio na boki trójkąta o

długościach \(\displaystyle{ a, b, c, }\) zaś \(\displaystyle{ r }\) jest długością promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt, to

\(\displaystyle{ h_{a} + h_{b} + h_{c} \geq 9r. "}\)

Niech \(\displaystyle{ h_{a}, h_{b}, h_{c} }\) oznaczają długości wysokości trójkąta \(\displaystyle{ ABC }\) opuszczonymi odpowiednio z wierzchołków \(\displaystyle{ A, B, C }\) tego trójkąta.

Zauważmy że

\(\displaystyle{ h_{a} \leq r +u, \ \ h_{b} \leq r + v, \ \ h_{c} \leq r + w }\)

Stąd

\(\displaystyle{ h_{a} + h_{b} + h_{c} \leq 3r + u + v + w, }\)

więc

\(\displaystyle{ u + v + w \geq h_{a} + h_{b} + h_{c} - 3r }\)

i korzystamy z nierówności wynikającej z lematu

\(\displaystyle{ u + v + w \geq 9r - 3r = 6r.}\)

[a4karo]

A co to są `u, V, w`?

[Corinek]

Proszę najpierw udowadnić twierdzenie pomocnicze (lemat):

"Jeżeli \(\displaystyle{ h{a} , h_{b}, h_{c} }\) aą długościami wysokości trójkąta \(\displaystyle{ ABC }\) opuszczonymi odpowiednio na boki trójkąta o

długościach \(\displaystyle{ a, b, c, }\) zaś \(\displaystyle{ r }\) jest długością promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt, to

\(\displaystyle{ h_{a} + h_{b} + h_{c} \geq 9r. "}\)

Czemu akurat 9r? Skąd się to bierze?

[janusz47]

Bierze się to

z wyrażenia sumy wysokości trójkąta \(\displaystyle{ h_{a}+h_{b} + h_{c} }\) przez długości jego boków \(\displaystyle{ a, b, c }\)

i nierówności

\(\displaystyle{ \forall_{a,b,c \in \RR_{+}} (a+b+c)\left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\right) \geq 9. }\)

[Corinek]

Domyślam się w takim razie, że równość mamy dla trójkąta równobocznego?

[janusz47]

Tak.