Dwie drabiny oparte o ścianę

Dział całkowicie poświęcony zagadnieniom związanymi z trójkątami. Temu co się w nie wpisuje i na nich opisuje - też...
tomula358
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 5 paź 2019, o 20:33
Płeć: Mężczyzna
wiek: 27

Dwie drabiny oparte o ścianę

Post autor: tomula358 » 30 lis 2019, o 22:12

Jedna z drabin ma długość x, druga y i oparte są o przeciwne budynki. Gdy popatrzymy z boku, przecinają się one na wysokości c nad poziomem ulicy. Należy policzyć szerokość ulicy w, jeśli wartości x,y oraz c są dane.

Tutaj rysunek: https://i.imgur.com/uTbjcwF.png

Elayne
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 749
Rejestracja: 24 paź 2011, o 01:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 60 razy
Pomógł: 235 razy

Re: Dwie drabiny oparte o ścianę

Post autor: Elayne » 1 gru 2019, o 04:44

W 1912 roku, na ścianie jednej ze świątyń w dolinie Nilu odkryto zagadkę kapłana:
w cylindrycznej studni kamiennej znajdują się dwie trzcinowe tyczki o długości dwóch i trzech metrów, które krzyżują się dokładnie na wysokości lustra wody [jeden metr od dna studni]. Szukana jest średnica studni.

To zadanie, to ten sam problem. Najprościej będzie skorzystać z twierdzenia Pitagorasa.

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5281
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 1156 razy

Re: Dwie drabiny oparte o ścianę

Post autor: janusz47 » 1 gru 2019, o 11:30

Rysunek

Oznaczenia

\(\displaystyle{ s }\) - szerokość ulicy

\(\displaystyle{ H }\) - wysokość oparcia 1 drabiny o ścianę lewego budynku

\(\displaystyle{ h }\) - wysokość oparcia 2 drabiny o ścianę prawego budynku

\(\displaystyle{ u }\) -odległość punktu przecięcia się 1 drabiny od ściany lewego budynku

\(\displaystyle{ v }\) -odległość punktu przecięcia się 2 drabiny od ściany prawego budynku

Ze wzoru Pitagorasa

\(\displaystyle{ H^2 +s^2 = x^2 \ \ (1) }\)

\(\displaystyle{ h^2 + s^2 = y^2 \ \ (2) }\)

Z porównania pól trójkątów

\(\displaystyle{ \frac{H \cdot s}{2} = \frac{H \cdot u}{2} + \frac{s\cdot c}{2} \ \ (3) }\)

\(\displaystyle{ \frac{h\cdot s}{2} = \frac{h \cdot u}{2} + \frac{s\cdot c}{2} \ \ (4) }\)

Z równości odcinków

\(\displaystyle{ u +v = s \ \ (5) }\)

Proszę rozwiązać układ równań \(\displaystyle{ (1) - (5) }\)

Dodano po 3 godzinach 24 minutach 10 sekundach:
Korekta

Jest

\(\displaystyle{ \frac{h\cdot s}{2} = \frac{h\cdot u}{2} + \frac{s\cdot c}{2} }\)

powinno być

\(\displaystyle{ \frac{h\cdot s}{2} = \frac{h\cdot v}{2} + \frac{s\cdot c}{2}. }\)

Elayne
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 749
Rejestracja: 24 paź 2011, o 01:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 60 razy
Pomógł: 235 razy

Re: Dwie drabiny oparte o ścianę

Post autor: Elayne » 1 gru 2019, o 19:59

Oznaczenia jak na rysunku poniżej:
https://i.postimg.cc/W39JYWr9/dwie-tyczki-egipt.jpg

Z twierdzenia Pitagorasa mamy:
\(\displaystyle{ \begin{cases}
a^2 + s^2 = x^2 \\
b^2 + s^2 = y^2
\end{cases}
\Rightarrow a^2 - b^2 = x^2 - y^2}\)


Z podobieństwa mamy:
\(\displaystyle{ a/s = … \Rightarrow s_1 = … \\
b/s = … \Rightarrow s_2 = … }\)


W takim razie:
\(\displaystyle{ s = s_1 + s_2 = …}\)

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5281
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 1156 razy

Re: Dwie drabiny oparte o ścianę

Post autor: janusz47 » 1 gru 2019, o 20:24

Na podstawie rysunku zakładamy

\(\displaystyle{ H > h, \ \ s >0, \ \ h> c, \ \ H>c, \ \ c>0. }\)

Z podobieństwa trójkątów prostokątnych

\(\displaystyle{ \frac{H}{s} = \frac{c}{v} }\)

\(\displaystyle{ \frac{h}{s} = \frac{c}{u} }\)

Stąd

\(\displaystyle{ \frac{s}{H} + \frac{s}{h} = \frac{u +v}{c} = \frac{s}{c} | \cdot \frac{1}{s} }\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{H} + \frac{1}{h} = \frac{1}{c} \ \ (6) }\)

Z równania \(\displaystyle{ (6) }\) wyznaczamy

\(\displaystyle{ h = \frac {cH}{ H -c} \ \ (7) }\)

Odejmujemy równania \(\displaystyle{ (1), (2) }\) stronami

\(\displaystyle{ H^2 - h^2 = x^2 - y^2 \ \ (8) }\)

Podstawiamy \(\displaystyle{ (7) }\) do \(\displaystyle{ (8)}\)

\(\displaystyle{ H^2 - \frac{c^2H^2}{(H-c)^2} = x^2 - y^2 \| \cdot (H-c)^2 }\)

\(\displaystyle{ H^2 (H-c)^2 -c^2H^2 = (x^2 -y^2)(H-c)^2 }\)

\(\displaystyle{ H^4 -2cH^3 +c^2 H^2 -c^2H^2 = (H-c)^2(x^2 -y^2) }\)

\(\displaystyle{ H^4 -2cH^3 - (H-c)^2(x^2 -y^2) = 0 \ \ (9) }\)

Otrzymaliśmy równanie na obliczenie wysokości oparcia drabiny \(\displaystyle{ H. }\)

Podobnie, wyznaczając z równania \(\displaystyle{ (6) }\)

\(\displaystyle{ H = \frac{ch}{h -c} }\)

i wstawiając do równania \(\displaystyle{ (8) }\) - otrzymujemy równanie na wysokość oparcia drabiny \(\displaystyle{ h }\)

\(\displaystyle{ h^4 -2ch^3 - (h-c)^2(x^2 -y^2) = 0 \ \ (10) }\)

Znając wartość \(\displaystyle{ H }\) lub \(\displaystyle{ h, }\) możemy z równania \(\displaystyle{ (1) }\) lub \(\displaystyle{ (2) }\) obliczyć szerokość ulicy \(\displaystyle{ s. }\)

Jak widzimy jest to numerycznie dość złożony problem.

kruszewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6401
Rejestracja: 7 gru 2010, o 16:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Staszów
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 1031 razy

Re: Dwie drabiny oparte o ścianę

Post autor: kruszewski » 1 gru 2019, o 20:57

Cały smak jest w tym, że znane są długości drabin \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) a nie wysokości ich oparcia \(\displaystyle{ H}\) i \(\displaystyle{ h}\) podobnie jak w tym egipskim zadaniu z trzcinkami w studni o czym pisze wyżej pan Elayne .

Awatar użytkownika
Gosda
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 178
Rejestracja: 29 cze 2019, o 19:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Oulu
Podziękował: 25 razy
Pomógł: 25 razy

Re: Dwie drabiny oparte o ścianę

Post autor: Gosda » 1 gru 2019, o 21:46

Wydaje mi się, że rozwiązanie janusz47 jest spoko. Każde z równań 9 i 10 można rozwiązać, bo są czwartego stopnia względem szukanej \(\displaystyle{ h}\) (albo \(\displaystyle{ H}\)), pozostałe wielkości są znane - to długości drabin i wysokość ich przecięcia. Jak się zna wysokości punktów oparć drabiny o ściany, to z tw. Pitagorasa znamy też odległość między budynkami.

To jest de facto metoda nr 1 z https://en.wikipedia.org/wiki/Crossed_ladders_problem

kruszewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6401
Rejestracja: 7 gru 2010, o 16:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Staszów
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 1031 razy

Re: Dwie drabiny oparte o ścianę

Post autor: kruszewski » 1 gru 2019, o 22:52

Bo na tym polega ten smak, że wysokości nie są znany a wymagają obliczeń.
Rozswiązanie jest oczywista poprawne i eleganckie.

Dodano po 1 dniu 30 minutach 34 sekundach:
Smak zadania jest drażniący wyobraźnię.
Proszę zauważyć, że dla zadanej długości jednej drabiny i wymogu miary wysokości położenia punktu przecięcia się osi drabin, długość drugiej nie może być dowolna. Jeżeli pierwsza ma długość \(\displaystyle{ l_1}\) i przecina poziom położenia punktu przynależnego do obu drabin, (konstrukcja czerwonymi liniami), to długość drugiej drabiny \(\displaystyle{ l_2 }\) jest wynikiem konstrukcji niebieskimi linimi. Zachowując skale długości elementów rysunku, odcinki \(\displaystyle{ c }\) i \(\displaystyle{ l_1}\), otrzymuje się w tej skali odcinek \(\displaystyle{ s}\) oddalenia od siebie ścian budowli.

Dodano po 19 minutach 57 sekundach:
https://naforum.zapodaj.net/268a223fa244.png.html

Elayne
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 749
Rejestracja: 24 paź 2011, o 01:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 60 razy
Pomógł: 235 razy

Re: Dwie drabiny oparte o ścianę

Post autor: Elayne » 3 gru 2019, o 05:48

Elayne pisze:
1 gru 2019, o 19:59
Oznaczenia jak na rysunku poniżej:
https://i.postimg.cc/W39JYWr9/dwie-tyczki-egipt.jpg

Z twierdzenia Pitagorasa mamy:
\(\displaystyle{ \begin{cases}
a^2 + s^2 = x^2 \\
b^2 + s^2 = y^2
\end{cases}
\Rightarrow a^2 - b^2 = x^2 - y^2}\)


Z podobieństwa mamy:
\(\displaystyle{ a/s = … \Rightarrow s_1 = … \\
b/s = … \Rightarrow s_2 = … }\)


W takim razie:
\(\displaystyle{ s = s_1 + s_2 = …}\)
Z podobieństwa mamy:
\(\displaystyle{ \frac{a}{s} = \frac{a-c}{s_1} \Rightarrow s_1 = s \left( 1 - \frac{c}{a}\right) \\
\frac{b}{s} = \frac{b-c}{s_2} \Rightarrow s_2 = s \left( 1 - \frac{c}{b}\right) }\)


W takim razie:
\(\displaystyle{ s = s_1 + s_2 = s\left[ \left( 1 - \frac{c}{a}\right) + \left( 1 - \frac{c}{b}\right)\right] \Rightarrow ab = c(a+b)}\)

Dodano po 2 godzinach 52 minutach 50 sekundach:
Weźmy na przykład dane z zagadki egipskiej. Przyjmijmy, że \(\displaystyle{ x = 3, \ y = 2, \ c = 1.}\)
Mamy dwie możliwości, z tego \(\displaystyle{ ab = c(a+b)}\) możemy policzyć \(\displaystyle{ a}\) lub \(\displaystyle{ b.}\)
\(\displaystyle{ a = \frac{bc}{b-c}, \ b \neq c; \\
b = \frac{ac}{a-c}, \ a \neq c}\)

Podstawiamy jedno z tych wyrażeń, np. \(\displaystyle{ b}\) do \(\displaystyle{ a^2 - b^2 = x^2 - y^2:}\)
\(\displaystyle{ a^2 - \left( \frac{a \cdot 1}{a - 1}\right) ^2 = 3^2 - 2^2 \\
a^4 - 2a^3 - 5a^2 + 10a = 5 \\
a = 2,73572325237… \\
2,73572325237^2 - b^2 = 5 \\
b = 1,576128711… \\
2,73572325237^2 + s^2 = 3^2 \\
s = 1,231185728}\)

Elayne
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 749
Rejestracja: 24 paź 2011, o 01:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 60 razy
Pomógł: 235 razy

Re: Dwie drabiny oparte o ścianę

Post autor: Elayne » 4 gru 2019, o 11:56

Trochę poszperałem w sieci. Podobne zadanie było już na tym forum:
https://matematyka.pl/viewtopic.php?t=629
https://matematyka.pl/viewtopic.php?f=64&t=39734

Przypadkiem trafiłem na post: Zadanie Egipskich Kapłanów
http://forum.pi.math.uni.wroc.pl/viewto ... =26&t=2180
Tak się zastanawiam, czy tego typu zadanie można byłoby rozwiązać bez uciekania do metod numerycznych, np. z jakieś zależności między dwoma stożkami. Są na to jakieś realne szanse, czy jest to z góry skazane na niepowodzenie?

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5281
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 1156 razy

Re: Dwie drabiny oparte o ścianę

Post autor: janusz47 » 4 gru 2019, o 12:50

Na temat problemu przecięcia się drabin " crossed ladder problem" napisano wiele artykułów, W większości z nich, autorzy rozwiązują równania numerycznie.

Na przykład
http://atcm.mathandtech.org/EP2017/invi ... _21552.pdf

Rozwiązanie z zależności między stożkami gdzieś spotkałem, ale nie pamiętam gdzie.

ODPOWIEDZ