Oto treść zadania:
wykaż że ||x|-|y||=0 i y>=0) wychodzi że |x-y|
wykaż że ||x|-|y||<=|x-y|
- Tristan
- Użytkownik
- Posty: 2353
- Rejestracja: 24 kwie 2005, o 14:28
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 27 razy
- Pomógł: 557 razy
wykaż że ||x|-|y||<=|x-y|
Tw.: llxl-lyll\(\displaystyle{ \leq}\)lx+yl.
D-d:
Z nierówności lx-yl\(\displaystyle{ \leq}\)lxl+lyl mamy lxl=l(x+y)-yl\(\displaystyle{ \leq}\)lx+yl+lyl, więc lxl-lyl\(\displaystyle{ \leq}\)lx+yl. Podobnie,lxl-lyl\(\displaystyle{ \leq}\)lx+yl, czyli -lx+yl\(\displaystyle{ \leq}\)lxl-lyl. Stąd otrzymamy nasze twierdzenie. A jeśli zastąpiły -y zamiast y to otrzymamy właśnie llxl-lyll\(\displaystyle{ \leq}\)lx-yl
D-d:
Z nierówności lx-yl\(\displaystyle{ \leq}\)lxl+lyl mamy lxl=l(x+y)-yl\(\displaystyle{ \leq}\)lx+yl+lyl, więc lxl-lyl\(\displaystyle{ \leq}\)lx+yl. Podobnie,lxl-lyl\(\displaystyle{ \leq}\)lx+yl, czyli -lx+yl\(\displaystyle{ \leq}\)lxl-lyl. Stąd otrzymamy nasze twierdzenie. A jeśli zastąpiły -y zamiast y to otrzymamy właśnie llxl-lyll\(\displaystyle{ \leq}\)lx-yl