rozwiązać równania z wartością bezwzględną

Definicja, własności - specyfika równań i nierówności.
zet
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 89
Rejestracja: 28 mar 2005, o 12:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 7 razy

rozwiązać równania z wartością bezwzględną

Post autor: zet »

jest cos takiego:
a) \(\displaystyle{ |x^2 - 4| = 5}\)
b) \(\displaystyle{ |x^2 - 2x - 3| = - 4x}\)

jezeli ktoś by mógł rozwiązać to pokoleji, i jak najjaśniej (tak jakby pisał to na jakimś sprawdzianie, lub cos takiego) bym był wdzięczny
Awatar użytkownika
dem
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 596
Rejestracja: 5 sty 2005, o 21:02
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Pomógł: 17 razy

rozwiązać równania z wartością bezwzględną

Post autor: dem »

a.)

\(\displaystyle{ |x^{2}-4|=5}\)

\(\displaystyle{ x^{2}-4=5}\) v \(\displaystyle{ x^{2}-4=-5}\)
\(\displaystyle{ x^{2}=9}\) v \(\displaystyle{ x^{2}=-1}\)


\(\displaystyle{ x=3}\) \(\displaystyle{ \vee}\) \(\displaystyle{ x=-3}\)


drugie analogicznie.
Pamiętaj ,że:

|x|=a ,
x=a dla \(\displaystyle{ x\geq 0}\)
x=-a dla \(\displaystyle{ x}\)
zet
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 89
Rejestracja: 28 mar 2005, o 12:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 7 razy

rozwiązać równania z wartością bezwzględną

Post autor: zet »

a jak nalezy zrobić podobne zadanie:
\(\displaystyle{ |x^2-9| + |x^2 - 4| =9}\)

czy dobrze mi sie zdaje, ze trrzeba tym razem obliczyć dla 4 założeń??
ale jak je rozpisac?

no i dwa będą sprzeczne tak??
Skrzypu
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1146
Rejestracja: 18 maja 2004, o 22:15
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 18 razy

rozwiązać równania z wartością bezwzględną

Post autor: Skrzypu »

Tak
Ortis
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 30 mar 2005, o 21:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Krk

rozwiązać równania z wartością bezwzględną

Post autor: Ortis »

Witam
Pozwole sobie skozystac z tego watku bo takze mam pewne problemy z wartoscia bezwzgledna.

Wiem ze zadania tego typu mozna rozwiazywac kozystajac z nastepujacej wlasnosci:

\(\displaystyle{ |x|-1}\)

z tego wynikaloby ze rownanie nie ma rozwiazan co oczywiscie nie jest prawda... Co zle robie? Z gory dzieki za pomoc
Rogal
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5405
Rejestracja: 11 sty 2005, o 22:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: a z Limanowej
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 422 razy

rozwiązać równania z wartością bezwzględną

Post autor: Rogal »

Sposób podany przez Ciebie skutkuje tylko wtedy dobrze, gdy po drugiej stronie równania bądź nierówności nie ma zmiennej. Tutaj jest, więc takie przypadki (jak również inne, gdy mamy na przykład zmienną pod więcej niż jednym modułem) najwygodniej rozpatruje się nie przez przypadki, gdyż czasem lubi się ich namnożyć zbyt wiele, lecz za pomocą osi liczbowej. Znaczymy na niej miejsca zerowe modułów, a także innych wyrażeń zawierających zmienną (w tym przypadku także x+2), a następnie w każdym z przedziałów od jednego miejsca zerowego do drugiego, rozpatrujemy znak wyrażenia pod modułem i opuszczamy go zgodnie ze znanymi zasadami postępowania z wartością bezwzględną. Kwestia domykania przedziałów jest dość dowolna, znaczy musimy domknąć, ale w jednym dowolnie wybranym przedziale zawierającym dane miejsce zerowe. Myślę, że te wyjaśnienia Ci pomogą, jak nie to złap jakiegoś nauczyciela matematyki, a on Ci to obrazowo bardzo ładnie wyjaśni .
Ortis
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 30 mar 2005, o 21:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Krk

rozwiązać równania z wartością bezwzględną

Post autor: Ortis »

Dzieki za odpowiedz. Wg ksiazki z ktorej probuje sie uczyc (matematyka: nowa matura wyd cka) takie zadania powinno dac sie jednak rozwiazac przy pomocy ww zaleznosci . Niestety w ksiazce jest to kiepsko wytlumaczone przez co nie bardzo rozumiem caly mechanizm :( Mysle ze najlepiej bedzie jesli przytocze jak autorzy proponuja rozwiazanie tego przykladu:

"
\(\displaystyle{ |2x+3|>x+2}\)

Rozwiazanie:
Dla \(\displaystyle{ x+2 < 0}\) nierownosc jest prawdziwa
Dla \(\displaystyle{ x+2 q 0}\) mamy:

\(\displaystyle{ 2x+3x+2}\)
\(\displaystyle{ 3x-1}\)
\(\displaystyle{ x< - \frac{5}{3}\ \ \vee\ \ x>-1\ \ \wedge\ \ x>-2}\)

z czego wynika ze

\(\displaystyle{ x \in (- \infty, - \frac{5}{3}) \cup (-1, \infty)}\)
"

Teraz jak widac wynik sie zgadza :)

Niestety nie jestem w stanie pojac o co chodzi w tych zalozeniach jesli chodzi o r... Skad sie bierze to x> -2 ?? Moze jednak ktos jest w stanie to wyjasnic?
Awatar użytkownika
dem
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 596
Rejestracja: 5 sty 2005, o 21:02
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Pomógł: 17 razy

rozwiązać równania z wartością bezwzględną

Post autor: dem »

x>-2 masz z założenia ale tego nie uwzględniasz w wyniku.Tylko na końcu sprawdzasz czy wyniki zgadzaja ci się z przedziałami.




pozdrawiam.
Ortis
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 30 mar 2005, o 21:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Krk

rozwiązać równania z wartością bezwzględną

Post autor: Ortis »

No dobrze ale z czego to zalozenie wynika??? Przeciez napisalem ze widze to x>-2 ale problem w tym ze nie wiem skad to zalozenie sie wzielo. Dlaczego bierzemy wogole pod uwage druga czesc rownania (r)? Moze mi to ktos wytlumaczyc?
Awatar użytkownika
dem
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 596
Rejestracja: 5 sty 2005, o 21:02
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Pomógł: 17 razy

rozwiązać równania z wartością bezwzględną

Post autor: dem »

Bosh...........

namieszałeś

masz:
\(\displaystyle{ |2x+3|>x+2}\)

dla \(\displaystyle{ 2x+3\geq0}\) masz przedział rozwiązania dla \(\displaystyle{ x\geq-\frac{3}{2}}\)
i nierownosc ma postac:
\(\displaystyle{ 2x+3>x+2}\)
\(\displaystyle{ x>-1}\)

dla\(\displaystyle{ xx+2}\)
\(\displaystyle{ -3x>5}\)
\(\displaystyle{ x>-\frac{5}{3}}\)


pozdrawiam.
Ortis
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 30 mar 2005, o 21:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Krk

rozwiązać równania z wartością bezwzględną

Post autor: Ortis »

Co Bosh...? Gdzie niby mieszam? Tak napisane jest w ksiazce... A to co napisales nijak ma sie do tego o co pytalem.
Rogal
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5405
Rejestracja: 11 sty 2005, o 22:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: a z Limanowej
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 422 razy

rozwiązać równania z wartością bezwzględną

Post autor: Rogal »

Sprawa ma się prosto. Po prostu autorzy intuicyjnie bez tłumaczenia zrobili jedną rzecz. Na początek zauważmy, że wartość bezwzględna jest zawsze nieujemna. Możemy wykorzystać to w naszej równości właśnie przez dodatkowe założenie. Zauważmy, że x-2 i rozpatrzamy to jak "zwykłą" wartość bezwzględną, na końcu jednak sprawdzając otrzymane nierówności z naszym pierwszym założeniem, czyli właśnie x>-2.

Jak to nie o to chodziło, to już sam nie wiem .
Ortis
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 30 mar 2005, o 21:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Krk

rozwiązać równania z wartością bezwzględną

Post autor: Ortis »

Zauważmy, że x
Rogal
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5405
Rejestracja: 11 sty 2005, o 22:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: a z Limanowej
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 422 razy

rozwiązać równania z wartością bezwzględną

Post autor: Rogal »

Pardon, napisałem równość, a ma być przecież nierówność. Więc kiedy masz nierówność, gdzie wartość bezwzględna jest większa od jakiejś liczby ujemnej, no to ta nierówność jest po prostu zawsze prawdziwa.
ODPOWIEDZ