Matematyka.pl

Naszkicuj wykres funkcji \(\displaystyle{ y=g(k)}\), która każdej wartości parametru \(\displaystyle{ k,k \in \RR}\) przyporządkowuje liczbę rozwiązań równania \(\displaystyle{ |x^2-4|-2x=k-1}\).

Jak to zrobić? Gubię się w mnogości tych przypadków. Może mi ktoś pomóc?

Jakieś własne przemyślenia? Zadanie w zasadzie sprowadza się do narysowania funkcji \(\displaystyle{ x\mapsto \left| x^2-4\right|-2x+1 }\). Mnogość przypadków sprowadza się do rozważanie dwóch: \(\displaystyle{ x^2-4 \ge 0}\) albo odwrotnie. Ostatecznie mając rysunek wspomnianej funkcji widać jej poziomice, funkcja \(\displaystyle{ g}\) to moc poziomicy wyznaczonej przez \(\displaystyle{ k}\).

No, ok czyli w \(\displaystyle{ x \in \left\langle -2,2\right\rangle }\) będzie \(\displaystyle{ f(x)=-x^2-2x+5}\) i teraz chyba trzeba wierzchołek znaleźć i wychodzi \(\displaystyle{ x_w=-1}\) i \(\displaystyle{ f(-1)=6}\) oraz \(\displaystyle{ f(-2)=f(0)=5}\) i ramiona idą w dół. A jak \(\displaystyle{ x\in (- \infty ,-2) \cup (2,+\infty)}\) to parabola jest taka \(\displaystyle{ f(x)=x^2-2x-3}\) i ma wierzchołek w \(\displaystyle{ (1,-4)}\) i ramiona do góry. Czyli wynik wychodzi mi taki:
\(\displaystyle{ g(k)= \begin{cases} 0 \text{ dla } k<-3 \\ 1 \text{ dla } k=-3 \\ 2 \text{ dla } -3<k<5 \\ 3 \text{ dla } k=5 \\4 \text{ dla } 5<k<6 \\3 \text{ dla } k=6 \\2 \text{ dla } k>6 \\\end{cases} }\).

Czy tak jest dobrze?

Wygląda ok.