Równanie liniowe z wartością bezwzględną i parametrem

Definicja, własności - specyfika równań i nierówności.
max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2837
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 850 razy
Pomógł: 1 raz

Równanie liniowe z wartością bezwzględną i parametrem

Post autor: max123321 » 30 lis 2021, o 01:26

Dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ k}\) równanie:
\(\displaystyle{ 3|x-2|-2x=8k-4}\)
ma dwa rozwiązania dodatnie.

Jak to zrobić? Podobno, można graficznie, ale czy da się zrobić to zadanie algebraicznie? Jeśli nie można to proszę o pomoc w rozwiązaniu graficznym.

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15587
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 178 razy
Pomógł: 5177 razy

Re: Równanie liniowe z wartością bezwzględną i parametrem

Post autor: Premislav » 30 lis 2021, o 01:56

Po rozdzieleniu na przypadki \(\displaystyle{ x\ge 2, \ x<2}\) masz normalnie równania liniowe z parametrem, których rozwiązanie nie powinno okazać się problemem.

max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2837
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 850 razy
Pomógł: 1 raz

Re: Równanie liniowe z wartością bezwzględną i parametrem

Post autor: max123321 » 1 gru 2021, o 16:40

No dobra to liczę tak:
Pierwszy przypadek \(\displaystyle{ x \ge 2 }\)
\(\displaystyle{ 3x-6-2x=8k-4}\)
\(\displaystyle{ x=8k+2 \ge 2}\)
\(\displaystyle{ k \ge 0}\)
Czyli to równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie w przedziale \(\displaystyle{ x \in [ 2,+\infty)}\) dla \(\displaystyle{ k \ge 0}\)
Drugi przypadek \(\displaystyle{ 0<x<2}\)
\(\displaystyle{ -3x+6-2x=8k-4}\)
\(\displaystyle{ x=2- \frac{8}{5}k>0 }\)
\(\displaystyle{ k< \frac{5}{4} }\)
\(\displaystyle{ x<2}\)
\(\displaystyle{ 2- \frac{8}{5}k<2 }\)
\(\displaystyle{ k>0}\)
Czyli to równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie w \(\displaystyle{ x \in (0,2)}\) dla \(\displaystyle{ k \in (0, \frac{5}{4}) }\)
Czyli żeby to równanie miało dwa różne rozwiązania dodatanie to trzeba wziąć część wspólną tych przedziałów dla \(\displaystyle{ k}\). Czyli \(\displaystyle{ k \in (0, \frac{5}{4}) }\). Czy tak jest dobrze? Czy można było to trochę skrócić?

Dodano po 23 godzinach 9 minutach 49 sekundach:
Czy może ktoś potwierdzić albo zaprzeczyć?

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 30744
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4894 razy

Re: Równanie liniowe z wartością bezwzględną i parametrem

Post autor: Jan Kraszewski » 2 gru 2021, o 19:48

max123321 pisze:
2 gru 2021, o 15:50
Czy tak jest dobrze?
Tak.
max123321 pisze:
2 gru 2021, o 15:50
Czy można było to trochę skrócić?
Zrobić graficznie... :)

JK

max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2837
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 850 razy
Pomógł: 1 raz

Re: Równanie liniowe z wartością bezwzględną i parametrem

Post autor: max123321 » 4 gru 2021, o 00:38

A jak to zrobić graficznie?

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15587
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 178 razy
Pomógł: 5177 razy

Re: Równanie liniowe z wartością bezwzględną i parametrem

Post autor: Premislav » 4 gru 2021, o 01:10

Ja bym to zrobił w ten sposób:
najpierw narysuj sobie w kartezjańskim układzie współrzędnych wykres funkcji \(\displaystyle{ f(x)=3|x-2|}\). Taki odwrócony nieskończony kielich o wierzchołku w punkcie \(\displaystyle{ (2,0)}\), jak masz problem, to najpierw sobie narysuj \(\displaystyle{ f(x)=3x}\), potem wykasuj "ujemną" część (dla ujemnej półprostej) i zastąp odbiciem symetrycznym części dodatniej wykresu względem prostej \(\displaystyle{ x=0}\), a potem sobie to przesuń o dwa w prawo.
Następnie naszkicuj sobie pęk prostych równoległych \(\displaystyle{ y_{a}=2x+a}\). Bez trudu powienienś dostrzec, dla jakich \(\displaystyle{ a}\) otrzymujesz dwa punkty przecięcia na dodatniej półpropstej (graniczne warunki są dość intuicyjne, no nie może ta prosta wypadać pod wspomnianym wierzchołkiem, no i nie może zbyt wysoko przecinać prostej \(\displaystyle{ x=0}\)), a potem wystarczy podstawić \(\displaystyle{ a=8k-4}\), żeby uzyskać stąd warunek na \(\displaystyle{ k}\).
Ostatnio zmieniony 4 gru 2021, o 01:23 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

ODPOWIEDZ