Definicja wartości bezwzględnej

Definicja, własności - specyfika równań i nierówności.
PR713
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 31
Rejestracja: 22 sty 2021, o 21:22
Płeć: Mężczyzna
wiek: 0
Podziękował: 7 razy

Definicja wartości bezwzględnej

Post autor: PR713 »

Mam pytanie odnośnie metody przedziałowej w rozwiązywaniu równań z wartością bezwzględną ( zapisując nad osią wartości wyrażeń: \(\displaystyle{ -}\) albo \(\displaystyle{ +}\) pod wartością bezwzględną ) np. postaci \(\displaystyle{ |3-x|-|x+5| = 0}\) ( dajmy na to że po prawej stronie równania jest \(\displaystyle{ 0}\), wymyśliłem takie równanie ), wiem ogólnie jak to rozwiązać poprawnie, tylko doszedłem do takiej problematyki:

gdy zapiszemy miejsca zerowe \(\displaystyle{ 3}\) i \(\displaystyle{ -5}\) tych wyrażeń pod wartością bezwzględną to dzielą nam one oś na trzy przedział - i tutaj można zrobić pierwszy przedział
np. \(\displaystyle{ x \in (-\infty,-5)}\) oraz drugi \(\displaystyle{ x\in\langle-5,3)}\) oraz trzeci \(\displaystyle{ x\in\langle3,+\infty)}\), aczkolwiek można to też zapisać manipulując granicznymi \(\displaystyle{ x}\) tzn dzieląc oś na przedziały gdzie np w pierwszym przedziale
\(\displaystyle{ x \in (-\infty,-5\rangle}\), potem drugi przedział \(\displaystyle{ x \in (-5,3)}\) i trzeci \(\displaystyle{ x \in\langle3,+\infty)}\),

ale też można to zapisać jako \(\displaystyle{ x \in (-\infty,-5\rangle}\), potem drugi przedział \(\displaystyle{ x \in (-5,3\rangle}\) i trzeci \(\displaystyle{ x \in(3,+∞)}\), no i w każdym przypadku wyjdzie poprawne rozwiązanie należące do którejś dziedziny z danego przedziału - bo (chyba) zawsze tak jest że jeśli np na pierwszego przedziału wyszedłby załóżmy \(\displaystyle{ x = -5}\) i jeszcze jakiś ale to mało istotne, bo chodzi mi o \(\displaystyle{ x}\) graniczne dla tych przedziałów, a przedział jest otwarty \(\displaystyle{ x \in (-\infty,-5)}\) to dla drugiego przedziału akurat to rozwiązanie się powtórzy, a skoro też przedział jest domknięty np. \(\displaystyle{ \langle-5,3)}\) no to znaleźliśmy rozwiązanie i tak samo może być z drugą wartością bezwzględną.


A dzieje się tak dlatego że np. \(\displaystyle{ |3-x| = |-(x-3)| = |x-3|}\)? a tutaj gdy rozpiszemy to z definicji wartości bezwzględnej, to otrzymamy

\(\displaystyle{ |3-x| = \begin{cases} 3-x &\text{dla } x ≤ 3 \\ x-3 &\text{dla } x > 3 \end{cases}}\)

oraz

\(\displaystyle{ |x-3| = \begin{cases} x-3 &\text{dla } x ≥ 3 \\ -x+3 &\text{dla } x < 3 \end{cases}}\)

tak więc stąd też nasuwa się wniosek, że dlatego to nie ma znaczenia jak domkniemy przedziały bo dla \(\displaystyle{ |3-x|}\) byłby przedział domknięty dla \(\displaystyle{ x \in (-5,3\rangle}\) natomiast dla \(\displaystyle{ |x-3|}\) byłby \(\displaystyle{ x \in (-5,3)}\) bo \(\displaystyle{ x < 3}\), a stąd znów narzuca się wniosek, że wartość bezwzględną z definicji można zapisać jako

\(\displaystyle{ |x| = \begin{cases} x &\text{dla } x ≥ 0 \\ -x &\text{dla } x < 0 \end{cases}}\)

ale też
\(\displaystyle{ |x| =\begin{cases} x &\text{dla } x > 0 \\ -x &\text{dla } x ≤ 0 \end{cases}}\)

a żeby to potwierdzić to mając równanie do rozwiązania
\(\displaystyle{ |x|=x \hbox{ dla } x\geqslant 0}\) , natomiast dla \(\displaystyle{ |x|= -x \hbox{ dla } x\leqslant
0}\)
, więc wartość równa \(\displaystyle{ 0}\) może być przyporządkowana zarówno do pierwszego jak i drugiego przypadku.

Lecz wszędzie przyjęło się, że \(\displaystyle{ |x|=x \hbox{ dla } x\geqslant 0}\), tak?
Ostatnio zmieniony 20 wrz 2021, o 23:44 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Umieszczaj całe wyrażenia matematyczne w tagach [latex][/latex].
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34123
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Definicja wartości bezwzględnej

Post autor: Jan Kraszewski »

PR713 pisze: 20 wrz 2021, o 23:00Lecz wszędzie przyjęło się, że \(\displaystyle{ |x|=x \hbox{ dla } x\geqslant 0}\), tak?
Tak.

JK
PR713
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 31
Rejestracja: 22 sty 2021, o 21:22
Płeć: Mężczyzna
wiek: 0
Podziękował: 7 razy

Re: Definicja wartości bezwzględnej

Post autor: PR713 »

Dlaczego Pan uciął jedno zdanie z mojego posta 😅, chodzi Panu, że to o czym pisałem w tym poście jest prawdą? I można też zapisać \(\displaystyle{ |x| = -x}\) dla \(\displaystyle{ x \ge 0}\) ? A wtedy znów \(\displaystyle{ |x| = x}\) dla \(\displaystyle{ x > 0 }\)?
Ostatnio zmieniony 21 wrz 2021, o 10:35 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34123
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Definicja wartości bezwzględnej

Post autor: Jan Kraszewski »

PR713 pisze: 21 wrz 2021, o 07:22 Dlaczego Pan uciął jedno zdanie z mojego posta 😅,
Bo to było pytanie, na które odpowiedziałem.
PR713 pisze: 21 wrz 2021, o 07:22 chodzi Panu, że to o czym pisałem w tym poście jest prawdą?
Reszta posta to dość długie opowiadanie, w którym czynisz poprawne obserwacje. Zasadniczo nie ma czego tam komentować.
PR713 pisze: 21 wrz 2021, o 07:22 I można też zapisać \(\displaystyle{ |x| = -x}\) dla \(\displaystyle{ x \ge 0}\) ? A wtedy znów \(\displaystyle{ |x| = x}\) dla \(\displaystyle{ x > 0 }\)?
Jeżeli chciałeś napisać

"\(\displaystyle{ |x| = -x}\) dla \(\displaystyle{ x\, \red{\le}\, 0}\) ? A wtedy znów \(\displaystyle{ |x| = x}\) dla \(\displaystyle{ x > 0}\)"

to tak, można.

JK
Jakub Gurak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1392
Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 60 razy
Pomógł: 83 razy

Re: Definicja wartości bezwzględnej

Post autor: Jakub Gurak »

Cały Twój problem bierzę się stąd, że przejmujesz się rzeczą nieistotną, gdy zeruje się wyrażenie pod wartością bezwzględną. Nie miałbyś problemu gdybyś zauważył, że można nawet wartość bezwzględną liczby rzeczywistej \(\displaystyle{ x}\) zdefiniować jako:

\(\displaystyle{ \left| x\right| = \begin{cases} x, \hbox{ dla } x \ge 0; \\ -x, \hbox { dla } x \le 0.\end{cases} }\)

Gdyż \(\displaystyle{ \left| 0\right|=0=-0.}\)

A w szkole- zwracają uwagę na rzeczy nieistotne, pamiętam jak, gdy byłem w liceum, zwróciłem Pani nauczycielce na to uwagę, to się oburzyła, że to jest definicja międzynarodowa i trzeba się jej trzymać. Ja uważam, że nie ma sobie tym co głowy zaprzątać, a ja nie mam pamięci do szczegółów, więc mógłbym mieć problem z zapamiętaniem do którego przypadku zakwalifikować 0, ale to wszystko jedno, gdyż\(\displaystyle{ -0=0}\). Lepiej by było, gdyby zamiast zwracać w szkole uwagę na nieistotne szczegóły, zwrócone uwagę na przykład, na to, że 0 podpada pod obydwa te przypadki. Wtedy Ty PR713 też nie miałbyś takich problemów. :?
PR713
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 31
Rejestracja: 22 sty 2021, o 21:22
Płeć: Mężczyzna
wiek: 0
Podziękował: 7 razy

Re: Definicja wartości bezwzględnej

Post autor: PR713 »

Jan Kraszewski pisze: 21 wrz 2021, o 10:39
PR713 pisze: 21 wrz 2021, o 07:22 Dlaczego Pan uciął jedno zdanie z mojego posta 😅,
Bo to było pytanie, na które odpowiedziałem.
PR713 pisze: 21 wrz 2021, o 07:22 chodzi Panu, że to o czym pisałem w tym poście jest prawdą?
Reszta posta to dość długie opowiadanie, w którym czynisz poprawne obserwacje. Zasadniczo nie ma czego tam komentować.
PR713 pisze: 21 wrz 2021, o 07:22 I można też zapisać \(\displaystyle{ |x| = -x}\) dla \(\displaystyle{ x \ge 0}\) ? A wtedy znów \(\displaystyle{ |x| = x}\) dla \(\displaystyle{ x > 0 }\)?
Jeżeli chciałeś napisać

"\(\displaystyle{ |x| = -x}\) dla \(\displaystyle{ x\, \red{\le}\, 0}\) ? A wtedy znów \(\displaystyle{ |x| = x}\) dla \(\displaystyle{ x > 0}\)"

to tak, można.

JK
Dobrze dziękuję, tak o to mi chodziło a przy przepisywaniu napisałem \(\displaystyle{ \ge}\) zamiast \(\displaystyle{ \le}\).
Ostatnio zmieniony 21 wrz 2021, o 23:04 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa wiadomości.
ODPOWIEDZ