Udowonić wartość bezwzględną

[Andris]

Udowodnić, że jeżeli x>-1, to zachodzi nierówność

\(\displaystyle{ |x - y|\geq ||x| - |y||}\) dla (n>1)

przy czym znak równości ma miejsce tylko dla x=0

[zeus]

Udowodnić, że jeżeli x>-1, to zachodzi nierówność

\(\displaystyle{ |x - y|\geq ||x| - |y||}\) dla (n>1)

przy czym znak równości ma miejsce tylko dla x=0

Proste, wartość bezwzględna z liczby dodatniej (y>1) jest zawsze dodatnia, więc w 1 etapie usuwasz tą wartość bezwzględną z |y|
Teraz co z X? Wyrażenie jest równe dla każdego X >0, bo |x| przy X>0 zawsze jest równe X. Natomiast przy X z zakresu (-1,0> Wyrażenie jest równe, ponieważ |-x| = |x| i wychodzi X-Y = X-Y

Warunek 1:
\(\displaystyle{ y>1}\) , z tego wynika, że \(\displaystyle{ |x - y|\geq ||x| - y|}\)
Warunek 2:
\(\displaystyle{ x>-1}\), z tego wynika, że:
1) dla \(\displaystyle{ x\in (-1,0>}\) wartość X jest ujemna badź też 0, więc podstawmy za \(\displaystyle{ x}\) \(\displaystyle{ -x}\), wyjdzie nam: \(\displaystyle{ |-x - y|\geq |x - y|}\)
y jest zawsze większy od x, więc wartość po lewej stronie będzie mniejsza od wartości po prawej, a po usunięciu wartości bezwzględnej wartość lewa będzie większa od prawej, gdyż zmieni się znak po obu stronach z - na +
2) dla \(\displaystyle{ x>0}\) \(\displaystyle{ |x - y|\geq |x - y|}\) , po usunięciu wartości bezwzględnej wyjdzie nam, że lewa strona równa się prawej.

[*Kasia]

wartość bezwzględna z liczby dodatniej (y>1) jest zawsze dodatnia

A skąd wiesz, że \(\displaystyle{ y>1}\)?