nierówności z wartością bezwzględną - suma czy iloczyn zbiorów?

Definicja, własności - specyfika równań i nierówności.
VanHezz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 245
Rejestracja: 22 wrz 2012, o 11:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Międzyrzecz
Podziękował: 34 razy

nierówności z wartością bezwzględną - suma czy iloczyn zbiorów?

Post autor: VanHezz » 7 sie 2021, o 23:43

Witam, mam problem z prostymi nierównościami z wartością bezwzględną. Mianowicie nie wiem, dlaczego raz rozwiązanie tworzy suma zbiorów, a raz część wspólna zbiorów.
Weźmy dwa przykłady ze zbioru zadań:

1) \(\displaystyle{ \left| \left| x+2\right|-5 \right|>1}\)

Rozbijam jak zwykle na alternatywę:

\(\displaystyle{ \left| x+2\right| -5>1 \vee \left| x+2\right|-5<-1 }\)
\(\displaystyle{ \left| x+2\right|>6 \vee \left| x+2\right| <4}\)

Rozwiązaniem nierówności po lewej jest zbiór \(\displaystyle{ x \in \left( - \infty, -8\right) \cup \left( 4, \infty \right) }\)
Rozwiązaniem nierówności po prawej jest zbiór \(\displaystyle{ x \in \left( -6, 2\right) }\)

Rozwiązaniem początkowej nierówności jest zatem suma (bo mamy alternatywę) zbiorów podanych wyżej, więc
\(\displaystyle{ x \in \left( - \infty, -8\right) \cup \left( -6, 2\right) \cup \left( 4, \infty \right)}\)

I taka też odpowiedź podana jest na końcu podręcznika.

2) Weźmy jednak inny przykład: \(\displaystyle{ \left| \left| x-2\right| -4\right| <2}\)

Rozbijam standardowo na alternatywę:

\(\displaystyle{ \left| x-2\right| -4<2 \vee \left| x-2\right|-4>-2}\)
\(\displaystyle{ \left| x-2\right|<6 \vee \left| x-2\right| >2}\)

Rozwiązaniem nierówności po lewej jest zbiór \(\displaystyle{ x \in \left( -4, 8\right) }\)
Rozwiązaniem nierówności po prawej jest zbiór \(\displaystyle{ x \in \left( - \infty , 0\right) \cup \left( 4, \infty \right) }\)

A zatem, skoro mamy alternatywę, to rozwiązaniem powinna być suma zbiorów, tak jak w pierwszym przykładzie. Więc zgodnie z moim, wiem że błędnym, tokiem rozumowania,\(\displaystyle{ x \in R}\)

W odpowiedziach na końcu podręcznika podana jest odpowiedź ze zbiorem rozwiązań w postaci iloczynu powyższych zbiorów czyli \(\displaystyle{ x \in \left( -4, 0\right) \cup \left( 4, 8\right) }\)

Dlaczego zatem raz rozwiązaniem jest suma zbiorów rozwiązań rozpatrywanych dwóch nierówności, a raz ich iloczyn? Czy dlatego, że gdy po module mamy 'większe od', to stosujemy alternatywę, a gdy po module mamy 'mniejsze od', to stosujemy koniunkcję nierówności? Jeśli tak to dlaczego? Wynika to z natury modułu, która przedstawia odległości na osi liczbowej? Jakoś to chyba czuję, ale nie bardzo potrafię to matematycznie wyjaśnić.
Z góry dziękuję za odpowiedź.

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 30744
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4894 razy

Re: nierówności z wartością bezwzględną - suma czy iloczyn zbiorów?

Post autor: Jan Kraszewski » 8 sie 2021, o 01:20

VanHezz pisze:
7 sie 2021, o 23:43
2) Weźmy jednak inny przykład: \(\displaystyle{ \left| \left| x-2\right| -4\right| <2}\)

Rozbijam standardowo na alternatywę:

\(\displaystyle{ \left| x-2\right| -4<2 \vee \left| x-2\right|-4>-2}\)
I popełniasz błąd.

Co to znaczy "rozbijam standardowo na alternatywę"? Rozwiązanie takiej nierówności nie ma nic wspólnego z "rozbijaniem na alternatywę". Gdybyś rozumiał, na czym polega rozwiązywanie tych nierówności (a nie tylko uczył się regułek), to wiedziałbyś, że w tym wypadku mamy do czynienia z koniunkcją.
VanHezz pisze:
7 sie 2021, o 23:43
Dlaczego zatem raz rozwiązaniem jest suma zbiorów rozwiązań rozpatrywanych dwóch nierówności, a raz ich iloczyn? Czy dlatego, że gdy po module mamy 'większe od', to stosujemy alternatywę, a gdy po module mamy 'mniejsze od', to stosujemy koniunkcję nierówności?
Tak.
VanHezz pisze:
7 sie 2021, o 23:43
Jeśli tak to dlaczego? Wynika to z natury modułu, która przedstawia odległości na osi liczbowej?
Tak. Najwygodniej zastosować geometryczną interpretację wartości bezwzględnej. Co oznacza \(\displaystyle{ |x-a|<b}\)? Co oznacza \(\displaystyle{ |x-a|>b}\)?

JK

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 20408
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 27 razy
Pomógł: 3458 razy

Re: nierówności z wartością bezwzględną - suma czy iloczyn zbiorów?

Post autor: a4karo » 8 sie 2021, o 05:13

Jan Kraszewski pisze:
8 sie 2021, o 01:20
VanHezz pisze:
7 sie 2021, o 23:43
Dlaczego zatem raz rozwiązaniem jest suma zbiorów rozwiązań rozpatrywanych dwóch nierówności, a raz ich iloczyn? Czy dlatego, że gdy po module mamy 'większe od', to stosujemy alternatywę, a gdy po module mamy 'mniejsze od', to stosujemy koniunkcję nierówności?
Tak.


JK
Żeby Ci sie jednak nie wydawało, że świat jest taki prosty, rozwiąż nierówność `|x-2|>|2x+4|`

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 30744
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4894 razy

Re: nierówności z wartością bezwzględną - suma czy iloczyn zbiorów?

Post autor: Jan Kraszewski » 8 sie 2021, o 10:31

a4karo pisze:
8 sie 2021, o 05:13
Żeby Ci sie jednak nie wydawało, że świat jest taki prosty, rozwiąż nierówność `|x-2|>|2x+4|`
I w związku z tym pozostaje tylko przypomnieć radę, by nie zatrzymywać się na regułkach... Choć to akurat nierówność trochę innego typu niż poprzednie.

JK

VanHezz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 245
Rejestracja: 22 wrz 2012, o 11:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Międzyrzecz
Podziękował: 34 razy

Re: nierówności z wartością bezwzględną - suma czy iloczyn zbiorów?

Post autor: VanHezz » 8 sie 2021, o 10:56

Co to znaczy "rozbijam standardowo na alternatywę"? Rozwiązanie takiej nierówności nie ma nic wspólnego z "rozbijaniem na alternatywę". Gdybyś rozumiał, na czym polega rozwiązywanie tych nierówności (a nie tylko uczył się regułek), to wiedziałbyś, że w tym wypadku mamy do czynienia z koniunkcją.
Nie bardzo wiem, o jakich regułkach mowa. Po prostu sobie dłubałem przy nierównościach, bo chciałem je sobie przypomnieć. Na alternatywę rozbijałem ze względu na moduł, a nie na znak nierówności. Tochę lat od liceum już minęło i zapomniałem, że znak nierówności też ma znaczenie przy wyborze alternatywny czy koniunkcji, i coś mi właśnie świtało o graficznej interpretacji wartości bezwzględnej, o czym napisałem na końcu posta.
Teraz jednak przypomniałem sobie REGUŁKĘ, kiedy alternatywa a kiedy koniunkcja. Na szczęście wiem już mniej więcej z czego wynika.

Mam jeszcze jedno pytanie. Mianowicie znalazłem gdzieś w internecie wzór: \(\displaystyle{ \left| x-y\right| \ge \left| x\right| -\left| y\right| }\)
Czy aby na pewno ten wzór jest poprawny?

Posługując się nim, można pokazać, że wyrażenie \(\displaystyle{ \left| x+2\right| -\left| x\right|}\) przyjmuje wartości z przedziału \(\displaystyle{ \left( - \infty , 2\right\rangle}\) , a w rzeczywistości wyrażenie to przyjmuje wartości z przedziału \(\displaystyle{ \left\langle -2, 2\right\rangle}\). Niby pierwszy wariant jest prawidłowy, ponieważ rzeczywiście wyrażenie to zawsze przyjmuje wartości mniejsze bądź równie \(\displaystyle{ 2}\), ale też wynika z tego wariantu, że może to wyrażenie przyjmować również wartość np. \(\displaystyle{ -10
}\)
.
Czy zatem ten wzór jest prawidłowy?

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 30744
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4894 razy

Re: nierówności z wartością bezwzględną - suma czy iloczyn zbiorów?

Post autor: Jan Kraszewski » 8 sie 2021, o 11:39

VanHezz pisze:
8 sie 2021, o 10:56
Mam jeszcze jedno pytanie. Mianowicie znalazłem gdzieś w internecie wzór: \(\displaystyle{ \left| x-y\right| \ge \left| x\right| -\left| y\right| }\)
Czy aby na pewno ten wzór jest poprawny?
Tak. Prawdziwy jest nawet wzór \(\displaystyle{ \left| x-y\right| \ge \left| \left| x\right| -\left| y\right|\right| }\).
VanHezz pisze:
8 sie 2021, o 10:56
Posługując się nim, można pokazać, że wyrażenie \(\displaystyle{ \left| x+2\right| -\left| x\right|}\) przyjmuje wartości z przedziału \(\displaystyle{ \left( - \infty , 2\right\rangle}\) , a w rzeczywistości wyrażenie to przyjmuje wartości z przedziału \(\displaystyle{ \left\langle -2, 2\right\rangle}\). Niby pierwszy wariant jest prawidłowy, ponieważ rzeczywiście wyrażenie to zawsze przyjmuje wartości mniejsze bądź równie \(\displaystyle{ 2}\), ale też wynika z tego wariantu, że może to wyrażenie przyjmować również wartość np. \(\displaystyle{ -10
}\)
.
Wszystko, co napisałeś, jest prawdą i nie ma w tym żadnej sprzeczności. Po prostu wzór, który przytoczyłeś, daje mniej dokładne oszacowanie.

JK

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15587
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 178 razy
Pomógł: 5177 razy

Re: nierówności z wartością bezwzględną - suma czy iloczyn zbiorów?

Post autor: Premislav » 8 sie 2021, o 11:45

VanHezz pisze:
8 sie 2021, o 10:56


Mam jeszcze jedno pytanie. Mianowicie znalazłem gdzieś w internecie wzór: \(\displaystyle{ \left| x-y\right| \ge \left| x\right| -\left| y\right| }\)
Czy aby na pewno ten wzór jest poprawny?

Posługując się nim, można pokazać, że wyrażenie \(\displaystyle{ \left| x+2\right| -\left| x\right|}\) przyjmuje wartości z przedziału \(\displaystyle{ \left( - \infty , 2\right\rangle}\) , a w rzeczywistości wyrażenie to przyjmuje wartości z przedziału \(\displaystyle{ \left\langle -2, 2\right\rangle}\). Niby pierwszy wariant jest prawidłowy, ponieważ rzeczywiście wyrażenie to zawsze przyjmuje wartości mniejsze bądź równie \(\displaystyle{ 2}\), ale też wynika z tego wariantu, że może to wyrażenie przyjmować również wartość np. \(\displaystyle{ -10
}\)
.
Czy zatem ten wzór jest prawidłowy?
Tak, ta nierówność zachodzi, może po prostu źle jej użyłeś lub z jej użycia wyciągnąłeś zupełnie nieuprawnione wnioski. To, że \(\displaystyle{ (\forall x\in D)f(x)\le a}\) zdecydowanie nie wystarcza, by orzec, że \(\displaystyle{ \mathrm{rng}f=(-\infty, a]}\).

Mamy \(\displaystyle{ |x+2|-|x|\le |x+2-x|=2}\) z równością np. dla \(\displaystyle{ x=0}\). Ponadto
\(\displaystyle{ |x+2|-|x|\ge |x|-|2|-|x|=-2}\) z równością np. dla \(\displaystyle{ x=-4}\). Odnotujmy, że funkcja \(\displaystyle{ f(x)=|x+2|-|x|}\) jest ciągła jako różnica funkcji ciągłych. Z twierdzenia Darboux wynika przeto, że \(\displaystyle{ \mathrm{rng}f=[-2,2]}\).

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 30744
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4894 razy

Re: nierówności z wartością bezwzględną - suma czy iloczyn zbiorów?

Post autor: Jan Kraszewski » 8 sie 2021, o 12:25

Premislav pisze:
8 sie 2021, o 11:45
Tak, ta nierówność zachodzi, może po prostu źle jej użyłeś lub z jej użycia wyciągnąłeś zupełnie nieuprawnione wnioski. To, że \(\displaystyle{ (\forall x\in D)f(x)\le a}\) zdecydowanie nie wystarcza, by orzec, że \(\displaystyle{ \mathrm{rng}f=(-\infty, a]}\).
Nigdzie nie pojawiła się taka teza. Było tylko
VanHezz pisze:
8 sie 2021, o 10:56
Posługując się nim, można pokazać, że wyrażenie \(\displaystyle{ \left| x+2\right| -\left| x\right|}\) przyjmuje wartości z przedziału \(\displaystyle{ \left( - \infty , 2\right\rangle}\) ,
czyli \(\displaystyle{ \mathrm{rng}f \subseteq (-\infty, 2]}\).

JK

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 20408
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 27 razy
Pomógł: 3458 razy

Re: nierówności z wartością bezwzględną - suma czy iloczyn zbiorów?

Post autor: a4karo » 8 sie 2021, o 13:14

Formalnie, Janie, masz rację, ale zdziwienie VanHezz sugeruje, że rozumie on otrzymany wynik tak, jak to odebrał Premisław (i ja zresztą też). Gdyby było inaczej, to nie wskazałby `10` jako potencjalnej wartości funkcji.

Wyjaśniłeś to zresztą w swoim poprzednim poście.

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 30744
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4894 razy

Re: nierówności z wartością bezwzględną - suma czy iloczyn zbiorów?

Post autor: Jan Kraszewski » 8 sie 2021, o 16:48

a4karo pisze:
8 sie 2021, o 13:14
Formalnie, Janie, masz rację, ale zdziwienie VanHezz sugeruje, że rozumie on otrzymany wynik tak, jak to odebrał Premisław (i ja zresztą też). Gdyby było inaczej, to nie wskazałby `10` jako potencjalnej wartości funkcji.
Bardzo możliwe, co jednak oznacza, że problem nie leży po stronie wartości bezwzględnej, tylko zrozumienia pojęcia zbioru wartości funkcji.

JK

ODPOWIEDZ