Skąd wzięły się te dwa rozwiązania na samym dole (x1 oraz x2)?

Definicja, własności - specyfika równań i nierówności.
evy098
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 13 kwie 2021, o 22:00
Płeć: Kobieta
wiek: 19
Podziękował: 1 raz

Skąd wzięły się te dwa rozwiązania na samym dole (x1 oraz x2)?

Post autor: evy098 » 14 kwie 2021, o 12:36

Zbadamy istnienie i liczbę rozwiązań równania \(\displaystyle{ |x+3|+|x-1|=a}\), w zależności od parametru \(\displaystyle{ a}\).

Lewą stronę rozważanego równania będziemy interpretować jako sumę odległości punktu x (na osi liczbowej) od punktów \(\displaystyle{ -3}\) i \(\displaystyle{ 1}\). Naszkicujmy więc oś liczbową i zaznaczmy na niej punkty \(\displaystyle{ -3}\) i \(\displaystyle{ 1}\). Odległość między tymi punktami jest równa \(\displaystyle{ 4}\). Dzielą one oś liczbową na trzy rozłączne przedziały: \(\displaystyle{ (-\infty, -3), \left\langle -3, 1 \right\rangle, (1, +\infty)}\). Rozważmy więc trzy przypadki.

1) Niech \(\displaystyle{ x \in (-\infty, -3)}\), oznaczmy \(\displaystyle{ |x+3|=d, d>0}\), wówczas \(\displaystyle{ |x-1|=d+4}\), zatem \(\displaystyle{ |x+3|+|x-1|=d+d+4=4+2d>4}\).
Jeśli liczba \(\displaystyle{ x}\) należy do przedziału \(\displaystyle{ (-\infty, -3)}\), to wyrażenie \(\displaystyle{ |x+3|+|x-1|}\) przyjmuje wartości większe od \(\displaystyle{ 4}\).

2) Niech \(\displaystyle{ x \in \left\langle -3, 1 \right\rangle}\), oznaczmy \(\displaystyle{ |x+3|=d, d \in \left\langle 0, 4 \right\rangle}\), wówczas \(\displaystyle{ |x-1|=4-d}\), zatem \(\displaystyle{ |x+3|+|x-1|=d+4-d=4}\).
Dla dowolnej liczby \(\displaystyle{ x}\) należącej do przedziału \(\displaystyle{ \left\langle -3, 1 \right\rangle}\), wyrażenie \(\displaystyle{ |x+3|+|x-1|}\) przyjmuje wartość \(\displaystyle{ 4}\).

3) Niech \(\displaystyle{ x \in (1, +\infty)}\) oznaczmy \(\displaystyle{ |x-1|=d, d>0}\), wówczas \(\displaystyle{ |x+3|-4+d}\), zatem \(\displaystyle{ |x+3|+|x-1|=4+d+d=4+2d>4.}\)
Jeśli liczba x należy do przedziału \(\displaystyle{ (1, +\infty)}\), to wyrażenie \(\displaystyle{ |x+3|+|x-1|}\) przyjmuje wartości większe od \(\displaystyle{ 4}\).

Podsumujmy nasze rozwiązania:
- jeśli \(\displaystyle{ a \in (-\infty, 4)}\), to równanie \(\displaystyle{ |x+3|+|x-1|=a}\) nie ma rozwiązań;
- jeśli \(\displaystyle{ a=4}\), to rozwiązaniem równania \(\displaystyle{ |x+3|+|x-1]=a}\) jest każda liczba z przedziału \(\displaystyle{ \left\langle -3, 1 \right\rangle}\);
- jeśli \(\displaystyle{ a \in (4, +\infty)}\), to równanie \(\displaystyle{ |x+3|+|x-1|=a}\) ma dwa rozwiązania \(\displaystyle{ x_{1} , x_{2} }\):
\(\displaystyle{ x_{1} =-3- \frac{a-4}{2}}\) (\(\displaystyle{ x_{1} =\frac{-a-2}{2}}\)), \(\displaystyle{ x_{2} =1+ \frac{a-4}{2}}\) (\(\displaystyle{ x_{2} =\frac{a-2}{2}}\));
wyprowadź te wzory

Rozumiem całe zadanie, poza tymi \(\displaystyle{ x_{1} }\) oraz \(\displaystyle{ x_{2} }\). Poproszę o wyprowadzenie tych wzorów.
Ostatnio zmieniony 14 kwie 2021, o 15:29 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z https://matematyka.pl/viewtopic.php?t=178502 .

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 20408
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 27 razy
Pomógł: 3458 razy

Re: Skąd wzięły się te dwa rozwiązania na samym dole (x1 oraz x2)?

Post autor: a4karo » 14 kwie 2021, o 15:39

Pomyśl . Jedno rozwiązanie jest na lewo od `-3`, drugie na prawo od `1`, bo obrazek jest symetryczny względem `-1`

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 30744
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4894 razy

Re: Skąd wzięły się te dwa rozwiązania na samym dole (x1 oraz x2)?

Post autor: Jan Kraszewski » 14 kwie 2021, o 15:40

evy098 pisze:
14 kwie 2021, o 12:36
- jeśli \(\displaystyle{ a \in (4, +\infty)}\), to równanie \(\displaystyle{ |x+3|+|x-1|=a}\) ma dwa rozwiązania \(\displaystyle{ x_{1} , x_{2} }\):
\(\displaystyle{ x_{1} =-3- \frac{a-4}{2}}\) (\(\displaystyle{ x_{1} =\frac{-a-2}{2}}\)), \(\displaystyle{ x_{2} =1+ \frac{a-4}{2}}\) (\(\displaystyle{ x_{2} =\frac{a-2}{2}}\));
wyprowadź te wzory

Rozumiem całe zadanie, poza tymi \(\displaystyle{ x_{1} }\) oraz \(\displaystyle{ x_{2} }\). Poproszę o wyprowadzenie tych wzorów.
Wzory \(\displaystyle{ x_{1} =-3- \frac{a-4}{2}}\) i \(\displaystyle{ x_{2} =1+ \frac{a-4}{2}}\) wynikają z geometrycznej interpretacji, którą masz powyżej.

Ta sytuacja odpowiada Twoim przypadkom 1) i 3). Na rysunkach widzisz, że \(\displaystyle{ a=4+2d}\), gdzie \(\displaystyle{ d}\) jest odległością \(\displaystyle{ x}\) od \(\displaystyle{ -3}\) bądź \(\displaystyle{ 1}\). Stąd \(\displaystyle{ d=\frac{a-4}{2}}\), a szukany punkt \(\displaystyle{ x}\) leży na lewo od \(\displaystyle{ -3}\) w odległości \(\displaystyle{ d}\) (czyli \(\displaystyle{ x =-3- \frac{a-4}{2}}\)) lub na prawo od \(\displaystyle{ 1}\) w odległości \(\displaystyle{ d}\) (czyli \(\displaystyle{ x =1+ \frac{a-4}{2}}\)).

JK

ODPOWIEDZ