Matematyka.pl

\(\displaystyle{ 2|x+1| =|2x-1| +3}\) jaki będzie wynik? W odpowiedziach jest, że brak...

A jaki masz problem z rozwiązaniem tego równania?

JK

No nie rozumiem dlaczego brak rozwiązań. A 1/2 go nie spełnia?

No to w odpowiedziach jest błąd, każda liczba rzeczywista nie mniejsza niż \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) spełnia to równanie.

Dzięki. Tak mi też wychodziło ale, że prze 10 lat nie miałem do czynienia z matmą to uznałem, że chyba jednak ja jest głupi .

Dodano po 30 minutach 50 sekundach:
No dobra, a takie: znajdź najmniejszą wartość funkcji: \(\displaystyle{ y=||x|-|x+1|| }\). W odpowiedziach jest, że 0. A dla mnie to jest funkcja stała \(\displaystyle{ y=1 }\).

Odpowiedź jest ok.
Poprzednie zadanie jest (trochę) podpowiedzią.

No tak... Za długa przerwa. Zapomniałem o ułamkach... Dzięki...

Narysuj wykresy obu stron równania i popatrz, gdzie zachodzi równość. Czyli

\(\displaystyle{ y=2|x+1|}\)

\(\displaystyle{ y=|2x-1| +3}\)

\(\displaystyle{ 2|x + 1| = |2x -1| + 3 \ \ (1) }\)

Przez wartość bezwzględną (moduł) liczby \(\displaystyle{ x }\) co zapisjemy \(\displaystyle{ |x|}\) rozumiemy odległość liczby \(\displaystyle{ x }\) od liczby \(\displaystyle{ 0.}\)

Odległość tą możemy zapisać jako \(\displaystyle{ |x| = d(x, 0) }\)

Stosując ten zapis, równanie \(\displaystyle{ (1) }\) przyjmuje postać

\(\displaystyle{ 2d (x,-1) - 2 d\left( x, \frac{1}{2} \right) = 3 }\)

Mnożymy równanie przez \(\displaystyle{ \frac{1}{2}. }\)

\(\displaystyle{ d(x,-1) - d \left(x , \frac{1}{2} \right) = \frac{3}{2} \ \ (2) }\)

Z równania \(\displaystyle{ (2) }\) odczytujemy: "różnica odległości liczby \(\displaystyle{ x }\) od liczb odpowiednio \(\displaystyle{ -1}\) i \(\displaystyle{ \frac{1}{2} }\) wynosi \(\displaystyle{ \frac{3}{2}". }\)

Korzystając z rysunku widzimy, że szukana liczba \(\displaystyle{ x }\) jeśli istnieje - musi leżeć na zewnątrz przedziału \(\displaystyle{ \left\langle -1, \frac{1}{2} \right\rangle }\) na prawo od liczby \(\displaystyle{ \frac{1}{2}. }\)

Niech \(\displaystyle{ y }\) oznacza miarę wychylenia liczby \(\displaystyle{ x }\) od liczby \(\displaystyle{ \frac{1}{2}. }\)

Wówczas nasze równanie przyjmuje postać

\(\displaystyle{ y + \left(y+ \frac{3}{2} \right) = \frac{3}{2} }\)

\(\displaystyle{ 2y + \frac{3}{2} = \frac{3}{2} }\)

\(\displaystyle{ 2y = 0 }\)

\(\displaystyle{ y = 0. }\)

Najmniejszą liczbą \(\displaystyle{ x }\) spełniającą równanie \(\displaystyle{ (1) }\) jest liczba \(\displaystyle{ x= 0 +\frac{1}{2} = \frac{1}{2} }\) będąca prawym końcem przedziału \(\displaystyle{ \left\langle -1, \frac{1}{2} \right\rangle }\)

Równanie jest więc spełnione przez każdą liczbę \(\displaystyle{ x \geq \frac{1}{2}. }\)

Ta metoda rozwiązywania równań z wartością bezwzględną pochodzi od śp. Profesora Roberta Hajłasza.