Proste równanie
Proste równanie
\(\displaystyle{ 2|x+1| =|2x-1| +3}\) jaki będzie wynik? W odpowiedziach jest, że brak...
Ostatnio zmieniony 22 sie 2020, o 19:08 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm . Zły dział.
Powód: Brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm . Zły dział.
-
- Administrator
- Posty: 34295
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: Proste równanie
No to w odpowiedziach jest błąd, każda liczba rzeczywista nie mniejsza niż \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) spełnia to równanie.
Re: Proste równanie
Dzięki. Tak mi też wychodziło ale, że prze 10 lat nie miałem do czynienia z matmą to uznałem, że chyba jednak ja jest głupi .
Dodano po 30 minutach 50 sekundach:
No dobra, a takie: znajdź najmniejszą wartość funkcji: \(\displaystyle{ y=||x|-|x+1|| }\). W odpowiedziach jest, że 0. A dla mnie to jest funkcja stała \(\displaystyle{ y=1 }\).
Dodano po 30 minutach 50 sekundach:
No dobra, a takie: znajdź najmniejszą wartość funkcji: \(\displaystyle{ y=||x|-|x+1|| }\). W odpowiedziach jest, że 0. A dla mnie to jest funkcja stała \(\displaystyle{ y=1 }\).
-
- Użytkownik
- Posty: 2662
- Rejestracja: 1 gru 2012, o 00:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Pomógł: 369 razy
Re: Proste równanie
Narysuj wykresy obu stron równania i popatrz, gdzie zachodzi równość. Czyli
\(\displaystyle{ y=2|x+1|}\)
\(\displaystyle{ y=|2x-1| +3}\)
\(\displaystyle{ y=2|x+1|}\)
\(\displaystyle{ y=|2x-1| +3}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 7918
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Proste równanie
\(\displaystyle{ 2|x + 1| = |2x -1| + 3 \ \ (1) }\)
Przez wartość bezwzględną (moduł) liczby \(\displaystyle{ x }\) co zapisjemy \(\displaystyle{ |x|}\) rozumiemy odległość liczby \(\displaystyle{ x }\) od liczby \(\displaystyle{ 0.}\)
Odległość tą możemy zapisać jako \(\displaystyle{ |x| = d(x, 0) }\)
Stosując ten zapis, równanie \(\displaystyle{ (1) }\) przyjmuje postać
\(\displaystyle{ 2d (x,-1) - 2 d\left( x, \frac{1}{2} \right) = 3 }\)
Mnożymy równanie przez \(\displaystyle{ \frac{1}{2}. }\)
\(\displaystyle{ d(x,-1) - d \left(x , \frac{1}{2} \right) = \frac{3}{2} \ \ (2) }\)
Z równania \(\displaystyle{ (2) }\) odczytujemy: "różnica odległości liczby \(\displaystyle{ x }\) od liczb odpowiednio \(\displaystyle{ -1}\) i \(\displaystyle{ \frac{1}{2} }\) wynosi \(\displaystyle{ \frac{3}{2}". }\)
Korzystając z rysunku widzimy, że szukana liczba \(\displaystyle{ x }\) jeśli istnieje - musi leżeć na zewnątrz przedziału \(\displaystyle{ \left\langle -1, \frac{1}{2} \right\rangle }\) na prawo od liczby \(\displaystyle{ \frac{1}{2}. }\)
Niech \(\displaystyle{ y }\) oznacza miarę wychylenia liczby \(\displaystyle{ x }\) od liczby \(\displaystyle{ \frac{1}{2}. }\)
Wówczas nasze równanie przyjmuje postać
\(\displaystyle{ y + \left(y+ \frac{3}{2} \right) = \frac{3}{2} }\)
\(\displaystyle{ 2y + \frac{3}{2} = \frac{3}{2} }\)
\(\displaystyle{ 2y = 0 }\)
\(\displaystyle{ y = 0. }\)
Najmniejszą liczbą \(\displaystyle{ x }\) spełniającą równanie \(\displaystyle{ (1) }\) jest liczba \(\displaystyle{ x= 0 +\frac{1}{2} = \frac{1}{2} }\) będąca prawym końcem przedziału \(\displaystyle{ \left\langle -1, \frac{1}{2} \right\rangle }\)
Równanie jest więc spełnione przez każdą liczbę \(\displaystyle{ x \geq \frac{1}{2}. }\)
Ta metoda rozwiązywania równań z wartością bezwzględną pochodzi od śp. Profesora Roberta Hajłasza.
Przez wartość bezwzględną (moduł) liczby \(\displaystyle{ x }\) co zapisjemy \(\displaystyle{ |x|}\) rozumiemy odległość liczby \(\displaystyle{ x }\) od liczby \(\displaystyle{ 0.}\)
Odległość tą możemy zapisać jako \(\displaystyle{ |x| = d(x, 0) }\)
Stosując ten zapis, równanie \(\displaystyle{ (1) }\) przyjmuje postać
\(\displaystyle{ 2d (x,-1) - 2 d\left( x, \frac{1}{2} \right) = 3 }\)
Mnożymy równanie przez \(\displaystyle{ \frac{1}{2}. }\)
\(\displaystyle{ d(x,-1) - d \left(x , \frac{1}{2} \right) = \frac{3}{2} \ \ (2) }\)
Z równania \(\displaystyle{ (2) }\) odczytujemy: "różnica odległości liczby \(\displaystyle{ x }\) od liczb odpowiednio \(\displaystyle{ -1}\) i \(\displaystyle{ \frac{1}{2} }\) wynosi \(\displaystyle{ \frac{3}{2}". }\)
Korzystając z rysunku widzimy, że szukana liczba \(\displaystyle{ x }\) jeśli istnieje - musi leżeć na zewnątrz przedziału \(\displaystyle{ \left\langle -1, \frac{1}{2} \right\rangle }\) na prawo od liczby \(\displaystyle{ \frac{1}{2}. }\)
Niech \(\displaystyle{ y }\) oznacza miarę wychylenia liczby \(\displaystyle{ x }\) od liczby \(\displaystyle{ \frac{1}{2}. }\)
Wówczas nasze równanie przyjmuje postać
\(\displaystyle{ y + \left(y+ \frac{3}{2} \right) = \frac{3}{2} }\)
\(\displaystyle{ 2y + \frac{3}{2} = \frac{3}{2} }\)
\(\displaystyle{ 2y = 0 }\)
\(\displaystyle{ y = 0. }\)
Najmniejszą liczbą \(\displaystyle{ x }\) spełniającą równanie \(\displaystyle{ (1) }\) jest liczba \(\displaystyle{ x= 0 +\frac{1}{2} = \frac{1}{2} }\) będąca prawym końcem przedziału \(\displaystyle{ \left\langle -1, \frac{1}{2} \right\rangle }\)
Równanie jest więc spełnione przez każdą liczbę \(\displaystyle{ x \geq \frac{1}{2}. }\)
Ta metoda rozwiązywania równań z wartością bezwzględną pochodzi od śp. Profesora Roberta Hajłasza.