Równanie z dwiema wartościami bezwzględnymi.
-
- Użytkownik
- Posty: 85
- Rejestracja: 24 maja 2015, o 13:21
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 16 razy
Równanie z dwiema wartościami bezwzględnymi.
Witam.
Mam problem z rozwiązaniem równania:
\(\displaystyle{ |2x + 2|+ 3x=|x|+ 2 }\)
Prawidłowy wynik według odpowiedzi to \(\displaystyle{ x=0}\)
Moje obliczenia:
\(\displaystyle{ x \in (-\infty;-1)}\)
\(\displaystyle{ -2x - 2 - 3x = -x + 2}\)
\(\displaystyle{ x = -1 \notin (-\infty;-1)}\)
\(\displaystyle{ x \in \langle-1;0)}\)
\(\displaystyle{ 2x + 2 - 3x = -x + 2}\)
\(\displaystyle{ 0 = 0}\)
I tu mam wątpliwości - równanie jest tożsamościowe, co oznacza, że rozwiązaniem jest cały przedział, tj. \(\displaystyle{ \langle-1;0)}\)
Jednak po podstawieniu za wartość x wartości np. -1 równanie nie jest prawdziwe. Gdzie popełniam błąd?
\(\displaystyle{ x \in \langle0;\infty)}\)
\(\displaystyle{ 2x + 2 + 3x = x + 2}\)
\(\displaystyle{ x = 0}\)
Mam problem z rozwiązaniem równania:
\(\displaystyle{ |2x + 2|+ 3x=|x|+ 2 }\)
Prawidłowy wynik według odpowiedzi to \(\displaystyle{ x=0}\)
Moje obliczenia:
\(\displaystyle{ x \in (-\infty;-1)}\)
\(\displaystyle{ -2x - 2 - 3x = -x + 2}\)
\(\displaystyle{ x = -1 \notin (-\infty;-1)}\)
\(\displaystyle{ x \in \langle-1;0)}\)
\(\displaystyle{ 2x + 2 - 3x = -x + 2}\)
\(\displaystyle{ 0 = 0}\)
I tu mam wątpliwości - równanie jest tożsamościowe, co oznacza, że rozwiązaniem jest cały przedział, tj. \(\displaystyle{ \langle-1;0)}\)
Jednak po podstawieniu za wartość x wartości np. -1 równanie nie jest prawdziwe. Gdzie popełniam błąd?
\(\displaystyle{ x \in \langle0;\infty)}\)
\(\displaystyle{ 2x + 2 + 3x = x + 2}\)
\(\displaystyle{ x = 0}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 85
- Rejestracja: 24 maja 2015, o 13:21
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 16 razy
Re: Równanie z dwiema wartościami bezwzględnymi.
Dziękuję za wskazanie błędu. Dlaczego rozpatrując x w danym przedziale nie mam brać pod uwagę jaki znak będzie miało wyrażenie 3x?
-
- Użytkownik
- Posty: 23496
- Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: piaski
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 3264 razy
Re: Równanie z dwiema wartościami bezwzględnymi.
W danym przedziale \(\displaystyle{ +3x}\) jest równe \(\displaystyle{ +3x}\) (odkrywcze)
Ale już \(\displaystyle{ |3x|}\) może być równe \(\displaystyle{ 3x}\) lub \(\displaystyle{ -3x}\) - właśnie w zależności z jakiego przedziału jest x.
A przedziały dobierasz po to aby zlikwidować pionowe kreski, inne zapisy nie zmieniają się.
Ale już \(\displaystyle{ |3x|}\) może być równe \(\displaystyle{ 3x}\) lub \(\displaystyle{ -3x}\) - właśnie w zależności z jakiego przedziału jest x.
A przedziały dobierasz po to aby zlikwidować pionowe kreski, inne zapisy nie zmieniają się.
-
- Użytkownik
- Posty: 85
- Rejestracja: 24 maja 2015, o 13:21
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 16 razy
Re: Równanie z dwiema wartościami bezwzględnymi.
Rozumiem. Dzięki
Dodano po 21 minutach 8 sekundach:
Mam jeszcze pytanie, co robię źle w tej nierówności:
\(\displaystyle{ |5 - |x|| > 3 }\)
\(\displaystyle{ 5 - |x| > 3 \vee 5 - |x| < -3}\)
\(\displaystyle{ -|x| > -2 \vee -|x| < -8}\)
1 nierówność:
\(\displaystyle{ -x > -2 \vee -x < 2 }\)
\(\displaystyle{ x < 2 \vee x > -2}\)
\(\displaystyle{ x \in R }\)
2 nierówność:
\(\displaystyle{ -x < -8 \wedge -x > 8}\)
\(\displaystyle{ x > 8 \wedge x < -8}\)
\(\displaystyle{ x \in \emptyset}\)
na koniec sumuje przedziały z tych dwóch nierówności, co daje \(\displaystyle{ x \in R}\)
Natomiast prawidłowa odpowiedź to: \(\displaystyle{ x \in (-\infty;-8) \cup (-2;2) \cup (8;\infty)}\)
Taki wynik otrzymałbym, gdybym w 1 nierówności wyznaczył część wspólną przedziałów, a w drugiej sumę, jednak nie zgadzają się znaki >/ <, żeby to zrobić. Gdzie robię błąd?
Dodano po 21 minutach 8 sekundach:
Mam jeszcze pytanie, co robię źle w tej nierówności:
\(\displaystyle{ |5 - |x|| > 3 }\)
\(\displaystyle{ 5 - |x| > 3 \vee 5 - |x| < -3}\)
\(\displaystyle{ -|x| > -2 \vee -|x| < -8}\)
1 nierówność:
\(\displaystyle{ -x > -2 \vee -x < 2 }\)
\(\displaystyle{ x < 2 \vee x > -2}\)
\(\displaystyle{ x \in R }\)
2 nierówność:
\(\displaystyle{ -x < -8 \wedge -x > 8}\)
\(\displaystyle{ x > 8 \wedge x < -8}\)
\(\displaystyle{ x \in \emptyset}\)
na koniec sumuje przedziały z tych dwóch nierówności, co daje \(\displaystyle{ x \in R}\)
Natomiast prawidłowa odpowiedź to: \(\displaystyle{ x \in (-\infty;-8) \cup (-2;2) \cup (8;\infty)}\)
Taki wynik otrzymałbym, gdybym w 1 nierówności wyznaczył część wspólną przedziałów, a w drugiej sumę, jednak nie zgadzają się znaki >/ <, żeby to zrobić. Gdzie robię błąd?
-
- Użytkownik
- Posty: 22210
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: Równanie z dwiema wartościami bezwzględnymi.
Myślę, że powinieneś się wczytac w definicję wartości bezwzględnej, bo wygląda na to, że dość losowo opuszczasz kreski i zmieniasz znaki.
\(-|x|>-2 \Leftrightarrow |x|<2 \Leftrightarrow -2<x<2\)
\(-|x|<-8 \Leftrightarrow |x|>8 \Leftrightarrow x>8 {\red \vee } x<-8 \)
\(-|x|>-2 \Leftrightarrow |x|<2 \Leftrightarrow -2<x<2\)
\(-|x|<-8 \Leftrightarrow |x|>8 \Leftrightarrow x>8 {\red \vee } x<-8 \)
-
- Użytkownik
- Posty: 85
- Rejestracja: 24 maja 2015, o 13:21
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 16 razy
Re: Równanie z dwiema wartościami bezwzględnymi.
Definicję wartości bezwzględnej znam, jednak napytam jeszcze trudności przy rozwiązywaniu niektórych przykładów. Z tego, co Pan napisał rozumiem, że jeśli jest minus przed wartością bezwzględną, to nie mogę jej sobie ot tak opuścić, tylko najpierw muszę się go pozbyć. Tylko nie wiem, dlaczego.
-
- Użytkownik
- Posty: 23496
- Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: piaski
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 3264 razy
Re: Równanie z dwiema wartościami bezwzględnymi.
Patrz, są nierówności :
1) \(\displaystyle{ 2|x-7|<5}\)
2) \(\displaystyle{ 3|x|>11}\)
3) podobna do Twojej \(\displaystyle{ -|x|>-4}\)
Dla wygody (i ułatwienia sobie pracy) każdą z nich najpierw podzielimy przez liczbę, która jest przed wartością bezwzględną.
1) przez 2
2) przez 3
3) przez (-1), odwracamy znak nierówności. I tu masz odpowiedź na swoje pytanie. Nie tyle ,,musisz" pozbyć się minusa co powinieneś - aby nie popełniać błędów.
Zatem
\(\displaystyle{ -|x|>-4|:(-1)}\)
\(\displaystyle{ |x|<4}\)
1) \(\displaystyle{ 2|x-7|<5}\)
2) \(\displaystyle{ 3|x|>11}\)
3) podobna do Twojej \(\displaystyle{ -|x|>-4}\)
Dla wygody (i ułatwienia sobie pracy) każdą z nich najpierw podzielimy przez liczbę, która jest przed wartością bezwzględną.
1) przez 2
2) przez 3
3) przez (-1), odwracamy znak nierówności. I tu masz odpowiedź na swoje pytanie. Nie tyle ,,musisz" pozbyć się minusa co powinieneś - aby nie popełniać błędów.
Zatem
\(\displaystyle{ -|x|>-4|:(-1)}\)
\(\displaystyle{ |x|<4}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 22210
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: Równanie z dwiema wartościami bezwzględnymi.
Możez sobie kombinować jak chcesz, ale nie wolno różnych przypadków wrzucać do jednego worka. Nie staraj się doszukiwać jakiś magicznych regułek, tylko myśl. Popatrz:
Piszesz
\(-|x|> -2 \Leftrightarrow -x > -2 \vee -x<2\)
czyli bezmyślnie stosujesz regułkę \(|x|>a \Leftrightarrow x>a \vee x<-a\) ale przecież tu się obrazki nie zgadzają. Jeżeli nie zrozumiesz co robisz, to regułki nic Ci nie dadzą.
Piszesz
\(-|x|> -2 \Leftrightarrow -x > -2 \vee -x<2\)
czyli bezmyślnie stosujesz regułkę \(|x|>a \Leftrightarrow x>a \vee x<-a\) ale przecież tu się obrazki nie zgadzają. Jeżeli nie zrozumiesz co robisz, to regułki nic Ci nie dadzą.
-
- Administrator
- Posty: 34285
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Równanie z dwiema wartościami bezwzględnymi.
Tak się składa, że rozwiązując nierówności z wartością bezwzględną stosujesz pewną regułkę, która mówi, jakie jest rozwiązanie w wypadku \(\displaystyle{ |x|<...}\), a jakie w wypadku \(\displaystyle{ |x|>...}\) Nie masz natomiast żadnej regułki na rozwiązywanie nierówności typu \(\displaystyle{ -|x|<...}\) czy \(\displaystyle{ -|x|>...}\). I dlatego pozbywasz się minusa.
Przy czym oczywiście najlepiej rozumieć, dlaczego regułki działają, ale to już zupełnie inna kwestia...
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 85
- Rejestracja: 24 maja 2015, o 13:21
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 16 razy
Re: Równanie z dwiema wartościami bezwzględnymi.
Ok, czyli mój błąd polegał na tym, że nie podzieliłem przez liczbę, które stała przed wartością bezwzględną, a co za tym idzie nie zmienił się znak i zamiast części wspólnej wyznaczałem sumę. Dziękuję za wyjaśnienie