Równanie z dwiema wartościami bezwzględnymi.

Definicja, własności - specyfika równań i nierówności.
qwerty355
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 85
Rejestracja: 24 maja 2015, o 13:21
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 16 razy

Równanie z dwiema wartościami bezwzględnymi.

Post autor: qwerty355 »

Witam.
Mam problem z rozwiązaniem równania:
\(\displaystyle{ |2x + 2|+ 3x=|x|+ 2 }\)
Prawidłowy wynik według odpowiedzi to \(\displaystyle{ x=0}\)
Moje obliczenia:
\(\displaystyle{ x \in (-\infty;-1)}\)
\(\displaystyle{ -2x - 2 - 3x = -x + 2}\)
\(\displaystyle{ x = -1 \notin (-\infty;-1)}\)

\(\displaystyle{ x \in \langle-1;0)}\)
\(\displaystyle{ 2x + 2 - 3x = -x + 2}\)
\(\displaystyle{ 0 = 0}\)
I tu mam wątpliwości - równanie jest tożsamościowe, co oznacza, że rozwiązaniem jest cały przedział, tj. \(\displaystyle{ \langle-1;0)}\)
Jednak po podstawieniu za wartość x wartości np. -1 równanie nie jest prawdziwe. Gdzie popełniam błąd?

\(\displaystyle{ x \in \langle0;\infty)}\)
\(\displaystyle{ 2x + 2 + 3x = x + 2}\)
\(\displaystyle{ x = 0}\)
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Równanie z dwiema wartościami bezwzględnymi.

Post autor: a4karo »

W drugim przypadku nie `-3x` tylko `+3x`
piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23493
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3263 razy

Re: Równanie z dwiema wartościami bezwzględnymi.

Post autor: piasek101 »

Znak \(\displaystyle{ 3x}\) nie zmienia się w zależności od przyjmowanego x-sa (przedziału).
qwerty355
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 85
Rejestracja: 24 maja 2015, o 13:21
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 16 razy

Re: Równanie z dwiema wartościami bezwzględnymi.

Post autor: qwerty355 »

Dziękuję za wskazanie błędu. Dlaczego rozpatrując x w danym przedziale nie mam brać pod uwagę jaki znak będzie miało wyrażenie 3x?
piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23493
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3263 razy

Re: Równanie z dwiema wartościami bezwzględnymi.

Post autor: piasek101 »

W danym przedziale \(\displaystyle{ +3x}\) jest równe \(\displaystyle{ +3x}\) (odkrywcze)
Ale już \(\displaystyle{ |3x|}\) może być równe \(\displaystyle{ 3x}\) lub \(\displaystyle{ -3x}\) - właśnie w zależności z jakiego przedziału jest x.

A przedziały dobierasz po to aby zlikwidować pionowe kreski, inne zapisy nie zmieniają się.
qwerty355
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 85
Rejestracja: 24 maja 2015, o 13:21
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 16 razy

Re: Równanie z dwiema wartościami bezwzględnymi.

Post autor: qwerty355 »

Rozumiem. Dzięki :)

Dodano po 21 minutach 8 sekundach:
Mam jeszcze pytanie, co robię źle w tej nierówności:
\(\displaystyle{ |5 - |x|| > 3 }\)
\(\displaystyle{ 5 - |x| > 3 \vee 5 - |x| < -3}\)
\(\displaystyle{ -|x| > -2 \vee -|x| < -8}\)
1 nierówność:
\(\displaystyle{ -x > -2 \vee -x < 2 }\)
\(\displaystyle{ x < 2 \vee x > -2}\)
\(\displaystyle{ x \in R }\)

2 nierówność:
\(\displaystyle{ -x < -8 \wedge -x > 8}\)
\(\displaystyle{ x > 8 \wedge x < -8}\)
\(\displaystyle{ x \in \emptyset}\)

na koniec sumuje przedziały z tych dwóch nierówności, co daje \(\displaystyle{ x \in R}\)

Natomiast prawidłowa odpowiedź to: \(\displaystyle{ x \in (-\infty;-8) \cup (-2;2) \cup (8;\infty)}\)
Taki wynik otrzymałbym, gdybym w 1 nierówności wyznaczył część wspólną przedziałów, a w drugiej sumę, jednak nie zgadzają się znaki >/ <, żeby to zrobić. Gdzie robię błąd?
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Równanie z dwiema wartościami bezwzględnymi.

Post autor: a4karo »

Myślę, że powinieneś się wczytac w definicję wartości bezwzględnej, bo wygląda na to, że dość losowo opuszczasz kreski i zmieniasz znaki.

\(-|x|>-2 \Leftrightarrow |x|<2 \Leftrightarrow -2<x<2\)
\(-|x|<-8 \Leftrightarrow |x|>8 \Leftrightarrow x>8 {\red \vee } x<-8 \)
qwerty355
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 85
Rejestracja: 24 maja 2015, o 13:21
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 16 razy

Re: Równanie z dwiema wartościami bezwzględnymi.

Post autor: qwerty355 »

Definicję wartości bezwzględnej znam, jednak napytam jeszcze trudności przy rozwiązywaniu niektórych przykładów. Z tego, co Pan napisał rozumiem, że jeśli jest minus przed wartością bezwzględną, to nie mogę jej sobie ot tak opuścić, tylko najpierw muszę się go pozbyć. Tylko nie wiem, dlaczego.
piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23493
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3263 razy

Re: Równanie z dwiema wartościami bezwzględnymi.

Post autor: piasek101 »

Patrz, są nierówności :
1) \(\displaystyle{ 2|x-7|<5}\)

2) \(\displaystyle{ 3|x|>11}\)

3) podobna do Twojej \(\displaystyle{ -|x|>-4}\)

Dla wygody (i ułatwienia sobie pracy) każdą z nich najpierw podzielimy przez liczbę, która jest przed wartością bezwzględną.
1) przez 2
2) przez 3
3) przez (-1), odwracamy znak nierówności. I tu masz odpowiedź na swoje pytanie. Nie tyle ,,musisz" pozbyć się minusa co powinieneś - aby nie popełniać błędów.
Zatem
\(\displaystyle{ -|x|>-4|:(-1)}\)
\(\displaystyle{ |x|<4}\)
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Równanie z dwiema wartościami bezwzględnymi.

Post autor: a4karo »

Możez sobie kombinować jak chcesz, ale nie wolno różnych przypadków wrzucać do jednego worka. Nie staraj się doszukiwać jakiś magicznych regułek, tylko myśl. Popatrz:

Piszesz
\(-|x|> -2 \Leftrightarrow -x > -2 \vee -x<2\)

czyli bezmyślnie stosujesz regułkę \(|x|>a \Leftrightarrow x>a \vee x<-a\) ale przecież tu się obrazki nie zgadzają. Jeżeli nie zrozumiesz co robisz, to regułki nic Ci nie dadzą.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34123
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Równanie z dwiema wartościami bezwzględnymi.

Post autor: Jan Kraszewski »

qwerty355 pisze: 28 sty 2020, o 22:29jeśli jest minus przed wartością bezwzględną, to nie mogę jej sobie ot tak opuścić, tylko najpierw muszę się go pozbyć. Tylko nie wiem, dlaczego.
Tak się składa, że rozwiązując nierówności z wartością bezwzględną stosujesz pewną regułkę, która mówi, jakie jest rozwiązanie w wypadku \(\displaystyle{ |x|<...}\), a jakie w wypadku \(\displaystyle{ |x|>...}\) Nie masz natomiast żadnej regułki na rozwiązywanie nierówności typu \(\displaystyle{ -|x|<...}\) czy \(\displaystyle{ -|x|>...}\). I dlatego pozbywasz się minusa.

Przy czym oczywiście najlepiej rozumieć, dlaczego regułki działają, ale to już zupełnie inna kwestia...

JK
qwerty355
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 85
Rejestracja: 24 maja 2015, o 13:21
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 16 razy

Re: Równanie z dwiema wartościami bezwzględnymi.

Post autor: qwerty355 »

Ok, czyli mój błąd polegał na tym, że nie podzieliłem przez liczbę, które stała przed wartością bezwzględną, a co za tym idzie nie zmienił się znak i zamiast części wspólnej wyznaczałem sumę. Dziękuję za wyjaśnienie :)
ODPOWIEDZ