Nierówność z modułem

Definicja, własności - specyfika równań i nierówności.
Mondo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 490
Rejestracja: 11 sty 2011, o 19:54
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 261 razy
Pomógł: 7 razy

Nierówność z modułem

Post autor: Mondo »

Mam taką oto nierówność z modułem:

\(\displaystyle{ \left| 2x^2 - 13 \right| < 5 }\)

najprostrzym rozwiązaniem wydaje się być rozpisanie, że

\(\displaystyle{ -5 < 2x^2 - 13 < 5 \rightarrow 4 < x^2 < 9 }\)
z czego wynika, że rozwiązaniem są x z zbioru\(\displaystyle{ (-2,-3) \cup (2,3)}\)
Tak więc tym sposobem dosyć łatwo doszedłem do wyniku. Natomiast jeśli spróbuję skorzystać z własności, że kwadrat modułu jest równy kwadratowi wartości pod modułem otrzymuję równanie kwadratowe:
\(\displaystyle{ \left| 2x^2 - 13 \right| < 5 \rightarrow (2x^2 - 13)^2 < 25 }\)
\(\displaystyle{ 4x^4 - 4x^2 - 169 < 25 }\)
teraz podstawiając \(\displaystyle{ z = x^2}\)
dostaję równanie kwadratowe
\(\displaystyle{ z^2 - z - 48,5 < 0}\)

tyle tylko, że to nie bardzo prowadzi mnie do rozwiązania, albo nie widze tego. Bo przecież wyliczenie teraz np. pierwiastków tego równania da mi miejsca (zakładając, że pierwiastki istnieją) w których wartości funkcji wynoszą 0. Licząc jednak te pierwiastki dostaję:
\(\displaystyle{ \delta = 195, \sqrt{\delta} = 13,9 }\)

Pierwiastki:

\(\displaystyle{ z_1 = 7,48; z_2 = -6,48}\)
Nawet jeśli teraz podstawię za \(\displaystyle{ z \rightarrow x = z^2 \rightarrow x_1 = 55,95}\)

Co ni jak nie zbliża mnie do rozwiązania które otrzymałem licząc pierwszym sposobem. Co robię tutaj nie tak?
Ostatnio zmieniony 19 sty 2020, o 13:14 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34123
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Nierówność z modułem

Post autor: Jan Kraszewski »

Mondo pisze: 19 sty 2020, o 13:11\(\displaystyle{ \left| 2x^2 - 13 \right| < 5 \rightarrow (2x^2 - 13)^2 < 25 }\)
\(\displaystyle{ 4x^4 - \red{4x^2 - }\,169 < 25 }\)
Jesteś pewny?

JK
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Nierówność z modułem

Post autor: janusz47 »

Wychodzi ten sam wynik.

Pomyliłeś się w podnoszeniu obu stron nierówności do kwadratu.

Powinieneś otrzymać po podzieleniu nierówności przez \(\displaystyle{ 4 }\) nierówność:

\(\displaystyle{ x^4 -13x^2 +36 < 0 }\)
Mondo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 490
Rejestracja: 11 sty 2011, o 19:54
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 261 razy
Pomógł: 7 razy

Re: Nierówność z modułem

Post autor: Mondo »

Ahh racja, zgadza się.
Okay więc teraz dochodzę faktycznie do momentu gdy dostaję pierwiastki:
\(\displaystyle{ z_1 = 4; z_2 = 9}\)
pamiętając jednak o podstawieniu \(\displaystyle{ z=x^2}\)
otrzymuję
\(\displaystyle{ x_1 = \sqrt{z_1} = 2 }\)
\(\displaystyle{ x_2 = \sqrt{z_2} = 3 }\)
i tutaj w tym momencie gdybym nie znał rozwiązania z pierwszego sposobu napisał bym na pewno iż rozwiązaniem są \(\displaystyle{ x}\) z przedziału \(\displaystyle{ (2,3)}\) gdyż pierwiastek z liczby ujemnej nie istanieje. Intuicyjnie jednak wiem, że rozwiązaniem równania \(\displaystyle{ x^2 = 4}\) jest zarówno 2 jak i -2, natomiast pisząc tylko \(\displaystyle{ x = \sqrt{4} }\) wychodzi 2. Jak sobie z tym poradzić?
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34123
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Nierówność z modułem

Post autor: Jan Kraszewski »

Mondo pisze: 19 sty 2020, o 13:46Okay więc teraz dochodzę faktycznie do momentu gdy dostaję pierwiastki:
\(\displaystyle{ z_1 = 4; z_2 = 9}\)
pamiętając jednak o podstawieniu \(\displaystyle{ z=x^2}\)
otrzymuję
\(\displaystyle{ x_1 = \sqrt{z_1} = 2 }\)
\(\displaystyle{ x_2 = \sqrt{z_2} = 3 }\)
To nieprawda, przecież \(\displaystyle{ \sqrt{x^2}=|x| }\). Po podstawieniu dostajesz \(\displaystyle{ x^2=4; x^2=9}\), co daje Ci cztery pierwiastki.

JK
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Nierówność z modułem

Post autor: janusz47 »

A jak rozwiązuje się nierówność dwukwadratową

\(\displaystyle{ x^4 - 13x^2 +36 = ( x^2 - 9)(x^2 -4 ) = (x+3)(x-3)(x+2)(x -2) < 0 ? }\)

Dodano po 8 minutach 9 sekundach:
Na pewno znasz przynajmniej jedną z metod, metodę: "falki", siatki znaków, przedziałów.
Mondo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 490
Rejestracja: 11 sty 2011, o 19:54
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 261 razy
Pomógł: 7 razy

Re: Nierówność z modułem

Post autor: Mondo »

Jan Kraszewski pisze: 19 sty 2020, o 13:51
Mondo pisze: 19 sty 2020, o 13:46Okay więc teraz dochodzę faktycznie do momentu gdy dostaję pierwiastki:
\(\displaystyle{ z_1 = 4; z_2 = 9}\)
pamiętając jednak o podstawieniu \(\displaystyle{ z=x^2}\)
otrzymuję
\(\displaystyle{ x_1 = \sqrt{z_1} = 2 }\)
\(\displaystyle{ x_2 = \sqrt{z_2} = 3 }\)
To nieprawda, przecież \(\displaystyle{ \sqrt{x^2}=|x| }\). Po podstawieniu dostajesz \(\displaystyle{ x^2=4; x^2=9}\), co daje Ci cztery pierwiastki.

JK

Zgadza się, @Jan Kraszewski, @janusz47 bardzo dziekuję za pomoc :)
ODPOWIEDZ