Wartość bezwzględna - równanie z parametrem.
- dawid.barracuda
- Użytkownik
- Posty: 1766
- Rejestracja: 11 paź 2009, o 19:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gryfice\Warszawa
- Podziękował: 480 razy
- Pomógł: 94 razy
Wartość bezwzględna - równanie z parametrem.
Cześć wszystkim
Mam takie zadanie: dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ a}\) równanie \(\displaystyle{ \left| x-a-3 \right|=2-a }\) ma dwa rozwiązania dodatnie?
Kilka lat minęło od matury i przyznam, że trochę zardzewiałem. Gdybym nie miał parametru w wartości bezwzględnej to bym to sobie zwyczajnie narysował. Tutaj jednak nie mam pomysłu, bo parametr trochę mi to rysowanie utrudnia.
W jaki sposób podejść do tego zadania?
Dzięki z góry za wszelkie wskazówki i pozdrawiam,
Dawid.
Mam takie zadanie: dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ a}\) równanie \(\displaystyle{ \left| x-a-3 \right|=2-a }\) ma dwa rozwiązania dodatnie?
Kilka lat minęło od matury i przyznam, że trochę zardzewiałem. Gdybym nie miał parametru w wartości bezwzględnej to bym to sobie zwyczajnie narysował. Tutaj jednak nie mam pomysłu, bo parametr trochę mi to rysowanie utrudnia.
W jaki sposób podejść do tego zadania?
Dzięki z góry za wszelkie wskazówki i pozdrawiam,
Dawid.
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: Wartość bezwzględna - równanie z parametrem.
Oczywiście musi być \(\displaystyle{ a\le 2}\), gdyż jeśli \(\displaystyle{ a>2}\), to \(\displaystyle{ 2-a<0}\), więc z uwagi na nieujemność wartości bezwzględnej nie może zajść \(\displaystyle{ |x-a-3|=2-a}\).
Teraz tak: dla \(\displaystyle{ a\le 2}\) mamy
\(\displaystyle{ |x-a-3|=2-a\Leftrightarrow x-a-3=2-a\vee x-a-3=-(2-a)\\ \Leftrightarrow x=5\vee x=2a+1}\). Będą to dwa dodatnie rozwiązania, gdy:
\(\displaystyle{ \begin{cases}a\le 2\\2a+1\neq 5\\2a+1>0 \end{cases}}\)
(pierwszy warunek już wyjaśniłem, środkowy służy temu, by rozwiązania się nie pokrywały, a ostatni chyba jest jasny).
Stąd otrzymujemy, że \(\displaystyle{ a\in \left(-\frac{1}{2},2\right)}\).
Teraz tak: dla \(\displaystyle{ a\le 2}\) mamy
\(\displaystyle{ |x-a-3|=2-a\Leftrightarrow x-a-3=2-a\vee x-a-3=-(2-a)\\ \Leftrightarrow x=5\vee x=2a+1}\). Będą to dwa dodatnie rozwiązania, gdy:
\(\displaystyle{ \begin{cases}a\le 2\\2a+1\neq 5\\2a+1>0 \end{cases}}\)
(pierwszy warunek już wyjaśniłem, środkowy służy temu, by rozwiązania się nie pokrywały, a ostatni chyba jest jasny).
Stąd otrzymujemy, że \(\displaystyle{ a\in \left(-\frac{1}{2},2\right)}\).
- dawid.barracuda
- Użytkownik
- Posty: 1766
- Rejestracja: 11 paź 2009, o 19:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gryfice\Warszawa
- Podziękował: 480 razy
- Pomógł: 94 razy
Re: Wartość bezwzględna - równanie z parametrem.
Mam dalej jakieś zaćmienie, nie jestem w stanie jasno powiedzieć skąd jest ostatni warunek. Pierwsze dwa nie ulegają wątpliwości, tak samo nieujemność wartości bezwzględnej nie ulega wątplwiości jednak przy trzecim warunku się zamuliłem. Nie widzę tutaj powiązania między trzecim warunkiem a nieujemnością wartości bezwzględnej.
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: Wartość bezwzględna - równanie z parametrem.
Rozwiązałem to równanie z wartością bezwzględną w zależności od \(\displaystyle{ a\le 2}\). Jednym z dwóch otrzymanych rozwiązań jest
\(\displaystyle{ 2a+1}\), więc aby oba rozwiązania były dodatnie, po pierwsze te rozwiązania muszą być różne (za co odpowiada drugi warunek), po drugie to drugie rozwiązanie, czyli \(\displaystyle{ x=2a+1}\) musi być dodatnie, tj. ma zachodzić \(\displaystyle{ 2a+1>0}\), tego wymagają warunki zadania.
\(\displaystyle{ 2a+1}\), więc aby oba rozwiązania były dodatnie, po pierwsze te rozwiązania muszą być różne (za co odpowiada drugi warunek), po drugie to drugie rozwiązanie, czyli \(\displaystyle{ x=2a+1}\) musi być dodatnie, tj. ma zachodzić \(\displaystyle{ 2a+1>0}\), tego wymagają warunki zadania.
- dawid.barracuda
- Użytkownik
- Posty: 1766
- Rejestracja: 11 paź 2009, o 19:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gryfice\Warszawa
- Podziękował: 480 razy
- Pomógł: 94 razy
Re: Wartość bezwzględna - równanie z parametrem.
Tak to jest jak się pisze polecenie i się go nie czyta... zapomniałem na śmierć o warunku "ma dwa rozwiązania dodatnie". Oczywiście, teraz sprawa jest jasna. Dzięki za pomoc i pozdrawiam!
-
- Użytkownik
- Posty: 7918
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Wartość bezwzględna - równanie z parametrem.
\(\displaystyle{ |x -a -3| = 2- a }\)
\(\displaystyle{ 2 -a \geq 0 \ \ (1) }\)
Podnosimy obie strony równania do kwadratu
\(\displaystyle{ |x -a -3|^2 = (2- a)^2 }\)
Otrzymujemy równanie kwadratowe
\(\displaystyle{ x^2 -2(a+3)x +10a +5 = 0 }\) (proszę sprawdzić)
Równanie kwadratowe ma dwa rozwiązanie dodatnie, gdy
\(\displaystyle{ \begin{cases} \Delta \geq 0 \\ x_{1} + x_{2} = -\frac{b}{a} >0 \\ x_{1}\cdot x_{2} = \frac{c}{a}>0 \end{cases} }\)
\(\displaystyle{ 2 -a \geq 0 \ \ (1) }\)
Podnosimy obie strony równania do kwadratu
\(\displaystyle{ |x -a -3|^2 = (2- a)^2 }\)
Otrzymujemy równanie kwadratowe
\(\displaystyle{ x^2 -2(a+3)x +10a +5 = 0 }\) (proszę sprawdzić)
Równanie kwadratowe ma dwa rozwiązanie dodatnie, gdy
\(\displaystyle{ \begin{cases} \Delta \geq 0 \\ x_{1} + x_{2} = -\frac{b}{a} >0 \\ x_{1}\cdot x_{2} = \frac{c}{a}>0 \end{cases} }\)
- dawid.barracuda
- Użytkownik
- Posty: 1766
- Rejestracja: 11 paź 2009, o 19:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gryfice\Warszawa
- Podziękował: 480 razy
- Pomógł: 94 razy
Re: Wartość bezwzględna - równanie z parametrem.
@janusz47 - fajne podejście do zadania, na funkcję kwadratową bym nie wpadł w tym przypadku.
-
- Użytkownik
- Posty: 23496
- Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: piaski
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 3264 razy
Re: Wartość bezwzględna - równanie z parametrem.
Uważam, że trzeba od początku zakładać \(\displaystyle{ 2-a>0}\) (\(\displaystyle{ a=2}\) nie spełnia warunków zadania).
-
- Użytkownik
- Posty: 7918
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Wartość bezwzględna - równanie z parametrem.
Równanie wyjściowe ma jedno rozwiązanie dodatnie \(\displaystyle{ x_{1} = 5}\) dla warości parametru \(\displaystyle{ a = 2.}\)
Podnosząc je stronami do kwadratu uzyskujemy równanie
\(\displaystyle{ x^2 -2(a+3)x + 10a +5 = 0 }\)
Wyróżnik tego równania
\(\displaystyle{ \Delta(a) = a^2 -4a + 4 = (a-2)^2 }\)
Korekta
Musimy więc przyjąć (nierówność ostrą) \(\displaystyle{ (a -2)^2 >0 }\) - wtedy równanie równanie kwadratowe wraz z warunkami wynikającymi ze wzorów Viete'a będzie miało dwa różne pierwiastki dodatnie, odrzucając możliwość istnienia pierwiastka dwukrotnego.
Podnosząc je stronami do kwadratu uzyskujemy równanie
\(\displaystyle{ x^2 -2(a+3)x + 10a +5 = 0 }\)
Wyróżnik tego równania
\(\displaystyle{ \Delta(a) = a^2 -4a + 4 = (a-2)^2 }\)
Korekta
Musimy więc przyjąć (nierówność ostrą) \(\displaystyle{ (a -2)^2 >0 }\) - wtedy równanie równanie kwadratowe wraz z warunkami wynikającymi ze wzorów Viete'a będzie miało dwa różne pierwiastki dodatnie, odrzucając możliwość istnienia pierwiastka dwukrotnego.