Wartość bezwzględna - równanie z parametrem.

Definicja, własności - specyfika równań i nierówności.
Awatar użytkownika
dawid.barracuda
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1767
Rejestracja: 11 paź 2009, o 19:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gryfice\Warszawa
Podziękował: 480 razy
Pomógł: 94 razy

Wartość bezwzględna - równanie z parametrem.

Post autor: dawid.barracuda » 6 lis 2019, o 07:56

Cześć wszystkim :)

Mam takie zadanie: dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ a}\) równanie \(\displaystyle{ \left| x-a-3 \right|=2-a }\) ma dwa rozwiązania dodatnie?
Kilka lat minęło od matury i przyznam, że trochę zardzewiałem. Gdybym nie miał parametru w wartości bezwzględnej to bym to sobie zwyczajnie narysował. Tutaj jednak nie mam pomysłu, bo parametr trochę mi to rysowanie utrudnia.
W jaki sposób podejść do tego zadania?

Dzięki z góry za wszelkie wskazówki i pozdrawiam,
Dawid.

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14372
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 80 razy
Pomógł: 4726 razy

Re: Wartość bezwzględna - równanie z parametrem.

Post autor: Premislav » 6 lis 2019, o 08:04

Oczywiście musi być \(\displaystyle{ a\le 2}\), gdyż jeśli \(\displaystyle{ a>2}\), to \(\displaystyle{ 2-a<0}\), więc z uwagi na nieujemność wartości bezwzględnej nie może zajść \(\displaystyle{ |x-a-3|=2-a}\).
Teraz tak: dla \(\displaystyle{ a\le 2}\) mamy
\(\displaystyle{ |x-a-3|=2-a\Leftrightarrow x-a-3=2-a\vee x-a-3=-(2-a)\\ \Leftrightarrow x=5\vee x=2a+1}\). Będą to dwa dodatnie rozwiązania, gdy:
\(\displaystyle{ \begin{cases}a\le 2\\2a+1\neq 5\\2a+1>0 \end{cases}}\)
(pierwszy warunek już wyjaśniłem, środkowy służy temu, by rozwiązania się nie pokrywały, a ostatni chyba jest jasny).
Stąd otrzymujemy, że \(\displaystyle{ a\in \left(-\frac{1}{2},2\right)}\).

Awatar użytkownika
dawid.barracuda
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1767
Rejestracja: 11 paź 2009, o 19:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gryfice\Warszawa
Podziękował: 480 razy
Pomógł: 94 razy

Re: Wartość bezwzględna - równanie z parametrem.

Post autor: dawid.barracuda » 6 lis 2019, o 08:49

Mam dalej jakieś zaćmienie, nie jestem w stanie jasno powiedzieć skąd jest ostatni warunek. Pierwsze dwa nie ulegają wątpliwości, tak samo nieujemność wartości bezwzględnej nie ulega wątplwiości jednak przy trzecim warunku się zamuliłem. Nie widzę tutaj powiązania między trzecim warunkiem a nieujemnością wartości bezwzględnej.

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14372
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 80 razy
Pomógł: 4726 razy

Re: Wartość bezwzględna - równanie z parametrem.

Post autor: Premislav » 6 lis 2019, o 08:56

Rozwiązałem to równanie z wartością bezwzględną w zależności od \(\displaystyle{ a\le 2}\). Jednym z dwóch otrzymanych rozwiązań jest
\(\displaystyle{ 2a+1}\), więc aby oba rozwiązania były dodatnie, po pierwsze te rozwiązania muszą być różne (za co odpowiada drugi warunek), po drugie to drugie rozwiązanie, czyli \(\displaystyle{ x=2a+1}\) musi być dodatnie, tj. ma zachodzić \(\displaystyle{ 2a+1>0}\), tego wymagają warunki zadania.

Awatar użytkownika
dawid.barracuda
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1767
Rejestracja: 11 paź 2009, o 19:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gryfice\Warszawa
Podziękował: 480 razy
Pomógł: 94 razy

Re: Wartość bezwzględna - równanie z parametrem.

Post autor: dawid.barracuda » 6 lis 2019, o 09:07

Tak to jest jak się pisze polecenie i się go nie czyta... zapomniałem na śmierć o warunku "ma dwa rozwiązania dodatnie". Oczywiście, teraz sprawa jest jasna. Dzięki za pomoc i pozdrawiam!

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5276
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 1156 razy

Re: Wartość bezwzględna - równanie z parametrem.

Post autor: janusz47 » 6 lis 2019, o 09:20

\(\displaystyle{ |x -a -3| = 2- a }\)

\(\displaystyle{ 2 -a \geq 0 \ \ (1) }\)

Podnosimy obie strony równania do kwadratu

\(\displaystyle{ |x -a -3|^2 = (2- a)^2 }\)

Otrzymujemy równanie kwadratowe

\(\displaystyle{ x^2 -2(a+3)x +10a +5 = 0 }\) (proszę sprawdzić)

Równanie kwadratowe ma dwa rozwiązanie dodatnie, gdy

\(\displaystyle{ \begin{cases} \Delta \geq 0 \\ x_{1} + x_{2} = -\frac{b}{a} >0 \\ x_{1}\cdot x_{2} = \frac{c}{a}>0 \end{cases} }\)

Awatar użytkownika
dawid.barracuda
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1767
Rejestracja: 11 paź 2009, o 19:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gryfice\Warszawa
Podziękował: 480 razy
Pomógł: 94 razy

Re: Wartość bezwzględna - równanie z parametrem.

Post autor: dawid.barracuda » 6 lis 2019, o 09:24

@janusz47 - fajne podejście do zadania, na funkcję kwadratową bym nie wpadł w tym przypadku.

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5276
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 1156 razy

Re: Wartość bezwzględna - równanie z parametrem.

Post autor: janusz47 » 6 lis 2019, o 09:43

\(\displaystyle{ a \in \left( -\frac{1}{2}, \ \ 2 \right ]. }\)

piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22996
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3111 razy

Re: Wartość bezwzględna - równanie z parametrem.

Post autor: piasek101 » 6 lis 2019, o 11:54

Uważam, że trzeba od początku zakładać \(\displaystyle{ 2-a>0}\) (\(\displaystyle{ a=2}\) nie spełnia warunków zadania).

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5276
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 1156 razy

Re: Wartość bezwzględna - równanie z parametrem.

Post autor: janusz47 » 6 lis 2019, o 19:00

Dlaczego nie spełnia ?

Awatar użytkownika
AiDi
Moderator
Moderator
Posty: 3399
Rejestracja: 25 maja 2009, o 22:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 13 razy
Pomógł: 627 razy

Re: Wartość bezwzględna - równanie z parametrem.

Post autor: AiDi » 6 lis 2019, o 19:14

A czy równanie \(\displaystyle{ |x-5|=0}\) ma dwa rozwiązania dodatnie?

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5276
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 1156 razy

Re: Wartość bezwzględna - równanie z parametrem.

Post autor: janusz47 » 6 lis 2019, o 20:47

Równanie wyjściowe ma jedno rozwiązanie dodatnie \(\displaystyle{ x_{1} = 5}\) dla warości parametru \(\displaystyle{ a = 2.}\)

Podnosząc je stronami do kwadratu uzyskujemy równanie

\(\displaystyle{ x^2 -2(a+3)x + 10a +5 = 0 }\)

Wyróżnik tego równania

\(\displaystyle{ \Delta(a) = a^2 -4a + 4 = (a-2)^2 }\)

Korekta

Musimy więc przyjąć (nierówność ostrą) \(\displaystyle{ (a -2)^2 >0 }\) - wtedy równanie równanie kwadratowe wraz z warunkami wynikającymi ze wzorów Viete'a będzie miało dwa różne pierwiastki dodatnie, odrzucając możliwość istnienia pierwiastka dwukrotnego.

ODPOWIEDZ