Matematyka.pl

Witam,
Przy rozwiązywaniu zadań z wartością bezwzględną, a w szczególności "Zbioru nierówności z wartością bezwzględną" nie jestem w stanie racjonalnie wyjaśnić potrzebę istnienia tegoż zagadnienia.

Ludzie piszą, że dzięki wartości bezwzględnej jesteśmy w stanie odkryć odległość \(\displaystyle{ X}\) od miejsca zerowego.
W tym momencie wykonuję zadania schematycznie, lecz frustruje mnie fakt, że nie jestem w stanie zrozumieć istoty.
Biorąc nierówność z wartością bezwzględną:
\(\displaystyle{ |x-2|>10}\).

Ja to rozumiem w ten sposób:

W tym zadaniu mam znaleźć liczbę \(\displaystyle{ x-2}\) w wyrażeniu dzięki której będzie spełniony warunek \(\displaystyle{ >10}\).
No ok,

Wiem, że zniesienie wartości bezwzględnej powoduje, że w przypadku dodatniego wyrażenia pozostanie dodatnie wyrażenie, bo wartość bezwzględna nie uwzględnia znaku.

zatem \(\displaystyle{ x - 2 > 10}\)
I tutaj się pojawia pytanie nr 1. Skoro mam powyższe wyrażenie to czemu potrzebuję jeszcze dodawać drugie \(\displaystyle{ x-2 < -10}\)?
Z czego wynika zmiana znaku?
Czy jest to spowodowane tym, że na osi liczbowej możemy polecieć w oba kierunki skoro wartość bezwzględna ogólnie rzecz biorąc określa odległość od miejsca zerowego?]
A może wynika to z definicji \(\displaystyle{ |x|}\)
Może ktoś pomóc mi to zrozumieć, bo najwidoczniej nie działa mi logika.
Równie dobrze mógłbym napisać, że \(\displaystyle{ x>12}\) i mojej ocenie można uznać, że temat jest zakończony.

Czemu są tylko dwa "zakresy", a nie na przykład 50 zakresów spełniających warunek nierówności?

Myślę, że dobrze jest wiedzieć coś takiego, to jest w moim przekonaniu istota sprawy:
\(\displaystyle{ |a-b|}\) (wartość bezwzględna różnicy liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\)) to jest odległość liczby \(\displaystyle{ a}\) od liczby \(\displaystyle{ b}\) na osi liczbowej (jak masz np. \(\displaystyle{ |13|}\) to jest to innymi słowy \(\displaystyle{ |13-0|}\)). jak się tak do tego podejdzie, to wszelkie wątpliwości powinny zniknąć, rozbijanie na przedziały to nie jest definicja, tylko pewna praktyczna metoda i nie mówi nic o istocie tego bytu (tj. czym to jest).

Zatem nierówność \(\displaystyle{ |x-2|>10}\) (jeśli \(\displaystyle{ x\in \RR}\)) opisuje zbiór liczb rzeczywistych, których odległość na osi liczbowej od liczby \(\displaystyle{ 2}\) jest większa niż \(\displaystyle{ 10}\).
Jak sobie narysujesz oś liczbową, zaznaczysz dwójkę i te odległości, to rozwiązanie powinno być natychmiast widoczne.

Premislav pisze:Myślę, że dobrze jest wiedzieć coś takiego, to jest w moim przekonaniu istota sprawy:
\(\displaystyle{ |a-b|}\) (wartość bezwzględna różnicy liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\)) to jest odległość liczby \(\displaystyle{ a}\) od liczby \(\displaystyle{ b}\) na osi liczbowej (jak masz np. \(\displaystyle{ |13|}\) to jest to innymi słowy \(\displaystyle{ |13-0|}\)). jak się tak do tego podejdzie, to wszelkie wątpliwości powinny zniknąć, rozbijanie na przedziały to nie jest definicja, tylko pewna praktyczna metoda i nie mówi nic o istocie tego bytu (tj. czym to jest).

Zatem nierówność \(\displaystyle{ |x-2|>10}\) (jeśli \(\displaystyle{ x\in \RR}\)) opisuje zbiór liczb rzeczywistych, których odległość na osi liczbowej od liczby \(\displaystyle{ 2}\) jest większa niż \(\displaystyle{ 10}\).
Jak sobie narysujesz oś liczbową, zaznaczysz dwójkę i te odległości, to rozwiązanie powinno być natychmiast widoczne.

Skoro \(\displaystyle{ |a-b|}\) to odległość między liczbami to \(\displaystyle{ |a+b|}\) jest czym?

Odległością \(\displaystyle{ a}\) od \(\displaystyle{ -b}\) na osi liczbowej, wszak \(\displaystyle{ a+b=a-(-b)}\).

Premislav pisze:Odległością \(\displaystyle{ a}\) od \(\displaystyle{ -b}\) na osi liczbowej, wszak \(\displaystyle{ a+b=a-(-b)}\).

\(\displaystyle{ a+b=a-(-b)}\) <- Jaka jest geneza drugiej części. Rozumiem, że \(\displaystyle{ - (- x )}\) daje \(\displaystyle{ +}\).

Szto Ty gawarisz? Nie rozumiem pytania.