Matematyka.pl

Jak pokazać, że
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} \left| a_{k} \right| \le \sqrt{n}\left( \sum_{k=1}^{n} a_{k} ^{2} \right) ^{ \frac{1}{2} } \le \sqrt{n} \left( \sum_{k=1}^{n}\left| a_{k} \right| \right)}\)

Widzę, że pierwsza wynika z tw. Cauchy'ego, ale jak wykazać drugą?

Na przykład podnieść stronami do kwadratu, poredukować co się da i zauważyć, że zostaną po prawej nieujemne wyrazy.-- 1 kwi 2019, o 21:00 --Dokładnie zostanie
\(\displaystyle{ 2 \sum_{1\le j<k\le n}^{} |a_j||a_k|}\)

Premislav, jak będzie ze znakami tej nierówności, jeżeli czynniki będą mniejsze od jeden? Trzeba by zmienić ich kierunek.

Dilectus, nie zgodzę się. Proponuję sprawdzić to sobie może dla dwóch liczb, dalej jest analogicznie.
Aha, tam w pamięci podzieliłem przez te niepotrzebne \(\displaystyle{ \sqrt{n}}\), które nic nie wnoszą.

Jeszcze taka uwaga: można tę nierówność bardzo łatwo wykazać też indukcyjnie, ale nie widzę takiej potrzeby.
Zapewne te nierówności pojawiły się przy dowodzeniu równoważności pewnych norm.

Bardzo dziękuję za pomoc

Dilectus pisze:Premislav, jak będzie ze znakami tej nierówności, jeżeli czynniki będą mniejsze od jeden? Trzeba by zmienić ich kierunek.

Tutaj z względu na jednorodność można złożyć, że \(\displaystyle{ \sum |a_i|=1}\). Wtedy \(\displaystyle{ |a_i|\leq 1}\) i
\(\displaystyle{ \sum a_i^2\leq \sum|a_i|=1}\)

Tak samo pokazuje się, że
\(\displaystyle{ \left(\sum |a_i|^r\right)^{1/r}\leq \left(\sum |a_i|^s\right)^{1/s}}\) dla \(\displaystyle{ 0<r<s}\)